Page 175 - 《振动工程学报》2026年第2期

第 2 期 叶天贵，等：一般边界条件下复合圆锥壳水下振声特性研究 491

（7） 式中，j 表示虚数；ω 表示角频率；含 m 的表达式为第
Π=T −U − P spr +W l +W f
式 中， T 和 U 分 别 表 示 圆 锥 壳 的 应 变 能 和 动 能 ； m 阶 Chebyshev 多项式；n 表示结构振动相应的周向
P sp 为边界弹簧势能；W l 为外力做功；W f 为声压对结 波数。其中，m 和 n 取值越大，计算结果越精确，后
r
构表面做功。各项能量表达式写为： 续将用 M 和 N 分别表示轴向截断阶数和周向截断阶
s
数。 A 和 A 为结构位移分量的级数展开系数。位
a
N l ∑w
1 z k+1 x mn mn
T = ρ (k) 移 和 声 压 分量 v、 w、 ϑ 1 、 ϑ 2 和 具 有 与 相 同 的 形
2 z k p u
k=1
s
a
s
[ ] 式， 其 对 应 的 级 数 展 开 系 数 分 别 为 B 、 B 、 C 、
( ) 2 ( ) 2 mn mn mn
˙
˙
2
˙ u+zϑ 1 + ˙v+zϑ 2 + ˙w xsinα 0 dxdθdz （8）
a
s
s
a
s
a
C 、 D 、 D 、 E 、 E 、 F 和 F 。
a
mn
mn
mn
mn
mn
mn
mn
1 N l ∑w z k+1 x 将式（8）、（9）、（12）、（14）代入式（7），经变分得
U = (σ xx ε xx +σ θθ ε θθ +
2 z k
k=1 到圆锥壳的自由振动方程为：
τ θz γ θz +τ xz γ xz +τ xθ γ xθ ) xsinα 0 dxdθdz （9） ( 2 )
−ω M + K q = 0 （15）
x
W l = (q x u+q θ v+q z w) xsinα 0 dxdθ （10） u v w ϑ1
式中，q 为圆锥壳振动位移展开系数，q=[q , q , q , q ,
x ϑ2 T
W f = (wp(Q)) xsinα 0 dxdθ （11） q ] ；M 为质量矩阵；K 为刚度矩阵。
求解方程（15）的特征值和特征向量可得到圆锥
(k)
式中，N 1 为层合材料的总层数；ρ 为第 k 层材料的
壳的固有频率和对应振型。对于强迫振动问题，结
密 度； q x 、 q θ 和 q z 分 别 为 沿 x、 θ 和 z 方 向 的 载 荷 ；
构的能量包含外力激励做功 W l ，锥壳能量方程经过
p(Q) 为圆锥壳表面声压。
变分后得到：
本文通过引入三组线性弹簧（k u ，k v ，k w ）和两组扭
2 （16）
转弹簧（K ，K ）来模拟实际工程中壳体边界复杂的 (−ω M + K)q =f l
x
θ
式中，f l 表示外力对锥壳做功的广义外力向量。对式（16）
约束状态。值得注意的是，当边界约束位于壳体两
采用最小二乘法求得未知系数向量 q，再代入位移展
端时，本方法引入的线性弹簧和扭转弹簧为沿边界
开式可以得到锥壳任意一点的结构响应。
线性分布的线弹性弹簧。经典的边界条件亦可以通
过将弹簧刚度系数设置为合适数值来实现。例如，
θ
将线性弹簧（k u ，k v ，k w ）和转动弹簧（K ，K ）的弹簧刚 2 复 合 圆 锥 壳 声 振 耦 合 模 型
x
6
度系数设置为弯曲刚度的 10 倍以上可以模拟固支
边界；同样地，将线性弹簧（k u ，k v ，k w ）的弹簧刚度系 如图 2 所示，考虑圆锥壳浸没于流体中，两端有
数设置为弯曲刚度的 10 倍以上，并且转动弹簧（K ， 两个虚拟的刚性声学障板，建立其声辐射模型。
6
x

θ
K ）的弹簧刚度设置为 0 即可模拟简支边界，通过调
r
整各个方向的弹簧参数即可实现一般边界条件下复 P
合圆锥壳水下振声耦合系统的建模 [19] 。因此，边界
Q
弹簧势能表达式可写为：
z
1 w [ ( θ ) 障板 O′ 障板
2
w
2
x
2
2
u
v
2
P spr = k u +k v +k w +K ϑ +K ϑ xsinα 0 +

x0
x0
x0
2
x0
1
x0
2 x=0
]
( )
u 2 v 2 w 2 x 2 θ 2
xL xL xL xL 1 xL 2
k u +k v +k w + K ϑ +K ϑ xsinα 0 dθ 流体
x=L
（12）

圆锥壳的周向位移采用 Fourier 级数对其进行展 图 2 复合材料圆锥壳声辐射示意图
开， 曲 面 坐 标 x 方 向 位 移 分 量 则 采 用 第 一 类 正 交 Fig. 2 Schematic diagram of acoustic radiation of composite
Chebyshev 多项式进行展开。由于该多项式收敛区 conical shell

间为 [−1，1]，需要将结构的整体坐标 x 变换到局部坐
弹性结构振动引起的辐射声场中任意 P 点的声
标 ξ 进行计算，其变换关系式为： 压可以由 Helmholtz 积分方程表示 [20] ：
L L (
x = ξ + （13） w ∂G(P,Q)
2 2 c(P) p(P) = p(Q) −
S 0 ∂n
结构中面位移 u 沿 x 和 θ 方向的展开式为： )
∂p(Q)
 G(P,Q) dS 0 (Q) （17）
∞
∑ ∞ ∑ ∂n
  s
u =   A cos(marccosξ)cos(nθ)+
mn

m=0 n=0 式 中， p(P) 表 示 P 点 的 声 压 ； S 0 表 示 辐 射 域 ； 源 点

∞ ∑ ∞ ∑
  为弹性体结构表面的点。系数 c(P) 由场点 的位
a
 jωt
A cos(marccosξ)sin(nθ)  e （14） Q P
mn


m=0 n=0 置决定：当 P 点位于声介质内部时，c(P)=1；位于结构