Page 176 - 《振动工程学报》2026年第2期

492 振 动 工 程 学 报 第 39 卷

表面时，c(P)=0.5；位于声介质外部时，c(P)=0。G(P, Q) 类 Chebyshev 级数展开：
为三维空间格林函数基本解，表达式为： ∑
J−1
p = P j (ξ) p = P(ξ) p （25）
j
n
G(P,Q) = e −ikR(P,Q) /(4πR(P,Q)) （18） j=0
式中，R(P, Q) 表示场点 P 与源点 Q 的距离。如图 2 式 中， J 为 声 压 展 开 阶 数 ； P j (ξ)为 声 压 展 开 函 数 ；
所示，在锥壳的声场模型中建立柱坐标系，则距离 P(ξ)为声压展开向量。
R 在柱坐标系下的表达式为： 当场点 P 位于结构表面时，将声压和结构法向
√ 位移展开式代入式（24），同时将对全局坐标系积分
(
2
2
R(P,Q) = r +r −2r P r Q cosθ ∆PQ + z P −z Q ) 2 （19）
P
Q
dl 变换到对局部坐标系 dξ 的积分，新的表达式写为：
式中， θ ∆PQ = θ P −θ Q ；r P 、θ P 、z P 和 r Q 、θ Q 、z Q 分别表示 w ( )
cP(Q) p (Q) = H n (ξ) P(ξ)r Q (ξ) J (ξ)dξ p −
n
n
矢径 r O′ 和 P r O′ 在柱坐标系下的分量。 l ξ
Q
w (
)
2 （26）
对于浸没流体中的圆锥壳，流体质点在结构边 l ξ ρ f ω H n (ξ)W (ξ)r Q (ξ) J (ξ)dξ w n
界上的速度等于锥壳表面法向振速 [20] ： 式中，l ξ 表示积分域；J 表示 Jacobi 行列式；W(ξ) 为切
∂p(Q) 2 比雪夫展开向量；w n 为广义法向位移向量。
= ρ f ω w(ξ,θ) （20）
∂n 当 选取 J 阶 Chebyshev 级 数 描 述 结 构 声 压 表 面
式中， ρ f 为外部声学介质的密度；w 为复合锥壳结构
时， 单 个 周 向 波 数 下 方 程 （ 26） 中 声 压 变 量 p 含 有
表面的法向位移。 n
J 个未知系数，此时需要 J 个方程组求解相应的未知
考虑到锥壳的周向对称性，声压函数在周向可
系数。本文采用 J 个 Chebyshev 零点作为结构表面
以由 Fourier 级数进行展开：
的 配 置点 r j ， 分 别 代 入 方 程 （ 26） 得 到 J 个 方 程 组 ，
∞ ∑
[ s c ] Chebyshev 零点在局部坐标系下表示为：
p(P) = p (r P ,n,z P )sin(nθ P )+ p (r P ,n,z P )cos(nθ P ) ，
n
n
n=0 (2j−1)π
ξ j = cos ； j = 1,2,··· , J （27）
∞ ∑
[ s ( ) ( ) c ( ) ( )] 2J
p(Q) = ˜ p r Q ,n,z Q sin nθ Q + ˜p r Q ,n,z Q cos nθ Q
n
n
n=0 将配置点 r j 代入式（26），则有：
（21）
n
(H n,r j −cP)p = G n,r j w n ；r j = 1,2,··· , J （28）
式中， p 和 p 分别为声压的对称和非对称展开系数； 式中， 和 G n， r 为在局部坐标系中配置点 r j 在积
c
s
n
n
j
H n,r j
˜ p 和 ˜ p 分别为声压的偏导数的对称和非对称展开系数。 分域内积分形成的影响系数矩阵，可表示为：
s
c
n
n
同理，格林函数及其偏导数沿周向展开有： w
= ，
H n,r j H n (ξ) P(ξ)r Q (ξ) J (ξ)dξ
r O ′ P =r j
l ξ
1 N ∑ w
G(P,Q) = H n 2 （29）
π G n,r j = ρ f ω H n (ξ)W (ξ)r Q (ξ) J (ξ)dξ
n=0 l ξ r O ′ P =r j
[ ( ) ( )]
sin(nθ P )sin nθ Q +cos(nθ P )cos nθ Q ， 式（28）简写成矩阵形式为：
∂(P,Q) 1 N ∑ Hp = Gw （30）
= H n
∂N π
n=0 因此考虑外力激励和声载荷作用的圆锥壳振动
[ ( ) ( )]
sin(nθ P )sin nθ Q +cos(nθ P )cos nθ Q 与声辐射控制方程为：
（22）
 2    
−ω M + K K wpq  f l 
式中， N为声压周向展开截断阶数,其大小通常与位        （31）
   
  =  
    
 H    
0
p
移周向展开截断阶数相同；H n 和 H n 分别为格林函数 G w
p
和其沿结构法向偏导数的系数，表达式写为： 式 中， K w 为 式 （ 11） 声 压 载 荷 对 圆 锥 壳 所 做 虚 功
w 2π e ikR(P,Q) W f 经变分后得到的附加矩阵；G w 为积分方程影响系
H n = cos(nθ)dθ，
0 4πR(P,Q) 数矩阵 G 在相应的结构广义未知系数下的矩阵。如
w 2π ∂ ( e ikR(P,Q) ) 果令 f l =0，式（31）则对应于圆锥壳的声振耦合自由
H n = cos(nθ)dθ （23）
0 ∂n 4πR(P,Q)
振动问题。

将式 (20)~(22) 代入式 (17)，利用三角函数的正交
性简化 Helmholtz 积分方程得：
3 数 值 结 果 与 分 析
w ( )
s
2
s
s
c(P) p = H n p −ρ f ω H n w r Q dl，
n
n
n
l
w ( )
c
c
c
2
c(P) p = H n p −ρ f ω H n w r Q dl （24） 3.1 准确性与收敛性分析
n
n
n
l
式中， w 和 w 分别为对称和非对称位移展开系数；声 首先验证求解模型的准确性。表 1 给出了计算
c
s
n n
√
c
s
场边界 l 的单个波数下的声压变量 p 、 p 利用第一 [0°/90°] 1 铺 层 圆 锥 壳 无 量 纲 频 率 Ω = ωR 1 ρh/A 11 时
0
n n