Page 123 - 《振动工程学报》2025年第11期

第 11 期 柴 凯，等：连杆铰链型非线性能量阱设计及试验研究 2581

何非线性将垂向位移 y 转化为刚性连杆对于质量块 x l x 0
y 2
的垂向非线性作用力，从而产生立方刚度； k h P
m 2
（2）竖直弹簧（柔性机构）恢复力抵消由质量块
c v k v
引起的静变形，确保负刚度效应在平衡点附近稳定
工作； y 1 m 1 Fcos(ΩT)
（3）通过刚性连杆铰链的几何非线性与柔性弹 c 1 k 1
簧的线性恢复力协同作用，实现正负刚度的动态调 基座

控和能量的耦合传递。 图 2 耦合非线性能量阱吸振系统结构示意图
鉴于铰链弯曲部分的刚度难以精确量化，采用 Fig. 2 Schematic diagram of the structure of a coupled
近似表达式对其模型进行推导。水平压缩力通过将 nonlinear energy sink absorption system
 3

刚度 k s2 的水平弹簧压缩到一定位移 x 0 而产生： m 1 ¨y 1 +c 1 ˙y 1 +k 1 y 1 +c v (˙y 1 − ˙y 2 )+k 2 (y 1 −y 2 ) = F cos(ΩT)

 3
 m 2 ¨y 2 +c v (˙y 2 − ˙y 1 )+k 2 (y 2 −y 1 ) = 0


k p (P,L) ≈ −P/ L （6）

 （2）

 P = k s2 (x 0 + x p ) 非线性能量阱与主系统相连，主系统由待吸振

设备 m 1 、线性弹簧 和阻尼 组成；非线性能量阱与
c 1
k 1
式中，L 的工程含义是连杆铰链有效臂长。铰链部
主系统耦合连接，其组成元素包括质量 m 2 、刚度 以
k v
分的连杆在 y 方向上的变形导致其在 x 方向上产生
及阻尼 c v ，根据前文结论，得到等效非线性刚度为
运动 x p ，基于小变形假设和几何非线性分析，该运动 ( )
x 0 。外界激励信号为 F cos(ΩT)，主系统
k 2 = k sy −k sp L
学关系满足：
和非线性能量阱产生的垂向位移分别为 y 1 和 ，非线
y 2
2y 2 y 2 性能量阱的恢复力为 k 2 (y 2 −y 1 ) ， 为弹簧 k 1 在重力
3
x p = − √ ≈ − （3） l 0
L+ L −y 2 L 作用下产生的静态伸长量。振子运动至该位置（即平
2
可得动力学模型如下： 衡位置）时，其重力已与弹簧的弹性恢复力相平衡。
引入如下变量代换：
( )
y 2
x 0 （4） √
m¨y+ k sy −k s2 +k s2 y+c s2 ˙y = 0 
L L 2  m 2 ,Ω 1 = k 1 ,α = k 2 ,ξ 1 = c 1 ,ξ 2 = c v
ε =





1 m 1 m 1 m 1 m 1 Ω 1 m 1 Ω 1
x 0 
引入等效刚度 k n = −k s2 ， k c = k s2 ， k eq = k sy 。其  Ω F k 2 l 2 y 1 y 2


L L 2 ω = , f = ,β = 0 ,z 1 = ,z 2 = ,t = Ω 1 T


中 k n 为等效负刚度， 为等效立方刚度， k eq 为等效线 Ω 1 l 0 k 1 k 1 l 0 l 0
（7）
k c
性刚度。由式 (4) 可得： 将式 (6) 进行无量纲处理，可得：
 3
3
m¨y+k eq y+k n y+k c y +c s2 ˙y = 0 （5） ¨z 1 +ξ 1 ˙z 1 +z 1 +ξ 2 (˙z 1 − ˙z 2 )+β(z 1 −z 2 ) = f cos(ωt)


 （8）
 ξ 2 β 3


故当 k eq = −k n 时，该结构可以构成非线性能量阱  ¨z 2 + (˙z 2 − ˙z 1 )+ (z 2 −z 1 ) = 0
ε ε
装置所需的本质非线性刚度形式。

2.2 动力学特性分析
2 非 线 性 能 量 阱 系 统 的 力 学 特 性 采用增量谐波平衡（incremental harmonic balance，
IHB）法对式 (8) 的周期解进行分析。通过引入关于

2.1 系统建模 增量的弧长参数追踪完整的解曲线，并结合 Floquet
理论判别周期解的稳定性，进而构建耦合非线性能
图 2 为耦合非线性能量阱系统结构示意图，非
量阱系统周期解的完整图像，具体过程见文献 [17]。
线性能量阱由一对刚性连杆铰链和位于铰链内的质 选取如下参数： ε = 0.005 ξ 1 = 1.2×10 ， ξ 2 = 1.2×10 ，
，
−3
−3
量 m 2 组成，采用垂直弹簧来消除重力影响。连杆铰 β = 1.5 f = 0.01，谐波截断阶数为 2。图 3 展示了增
，
链的两端被固定于基座，其运动位移量由 x l 表示。 量谐波平衡法与龙格-库塔数值解法的幅频响应曲
在建立模型时，由于连杆铰链机构自身的质量与阻 线对比情况，z 2 为两种方法求解得到的 NES 振子的
r
尼对非线性恢复力的影响甚微，故可忽略不计；而水 振动响应幅值，两种方法除了在 ω ∈ (1.09,1.25)区间
平弹簧刚度 k h 则为主要影响因素。轴向力 P 的大小 内出现了较小的误差外，其余频率段相对一致，验证
可表示为 P = k h (x l + x 0 )，其仅施加在一端，通过改变 了理论模型的准确性。
轴向力 P大小，可调整非线性能量阱的类型（双稳态 幅频特性曲线与最大 Floquet 乘子图共同揭示了
NES 或立方刚度 NES）。 系统的强非线性动力学行为。在 ω=0.75 处出现幅值
耦合非线性能量阱的系统运动微分方程如下： 陡升（>1.8），并在 ω=1.15 处形成次峰，揭示了主共振