Page 202 - 《振动工程学报》2025年第9期

2132 振 动 工 程 学 报 第 38 卷

{ }
ˆ λ(ω) T
( ) 4 t y
2
n
ˆ s(ω)+α ω−ω n d ˆ u (ω)+ MOMEDA→ max{MDN(y, t)} = max （14）
d
ˆ u n+1 (ω) = [ ][ 2 ] （7） f f ∥y∥
d ( ) 4 ( ) 2
1+α ω−ω n 1+2α ω−ω n
2
d d 求解式（14）所示的最大化问题可通过对滤波器
r 2
∞ n+1 系数 f 求导数解决：
ωˆu (ω) dω
ω n+1 0 d （8） ( ) ( ) ( )
T
d = r 2 d t y d d
∞ n+1
ˆu (ω) dω t 1 y 1 t 2 y 2
0 d = + +···+
d f ∥y∥ d f ∥y∥ d f ∥y∥
式中，n 为迭代次数。在每次迭代中，拉格朗日乘子 ( )
d t N−L y N−L
ˆ λ(ω)通过下式更新，这个过程被称为对偶上升过程： = 0 （15）
d f ∥y∥
[
n
n
{
ˆ λ n+1 (ω) = ˆ λ (ω)+τ ˆs(ω)− ˆu d (ω)+ ˆs (ω) ]} （9） 根据文献 [10] 可以得到：
r
式中， τ为 ˆ λ(ω)的更新步长。 d ( t k y k )
−1
−3
= ∥y∥ t k M k −∥y∥ t k y k X 0 y （16）
根据上述分析，VME 的算法流程如下： d f ∥y∥
1
1
1
步骤 1：初始化 ˆ u 、 ˆ λ 、 ˆ ω ，迭代次数 n = 1； 式中，
d d
 
步骤 2： n = n+1，算法开始执行循环；  x k+L−1  

   
  x k+L−2  
步骤 3：对于所有的 ω ⩾ 0，根据式（7）更新 ˆ u d ，然     。


M k =   . 
  .  
后根据式（8）更新 ω d ；     .    
x k
步骤 4：对偶上升过程，根据式（9）更新 ˆ λ；
结合式（15）和（16），得到：
步骤 5：不断执行步骤 2~4，直至满足迭代终止条件： ( )
T
d t y

−1

n+1 n
2 =∥y∥ (t 1 M 1 +t 2 M 2 +···+t N−L M N−L )−

ˆu
d − ˆu
（10） df ∥y∥
d 2

< ε

n
2 −3 T

ˆu
∥y∥ t yX 0 y = 0 （17）
d 2
式中， ε为迭代精度。 令 X 0 = [M 1 , M 2 ,···, M N−L ]，式（17）可化简为：
根据以上分析，中心频率 ω d 的初始值是 VME 的 ∥y∥ X 0 t −∥y∥ t yX 0 y = 0 （18）
−1
−3 T
关键输入参数。当预设的中心频率越接近期望模态 由于 y = X f ，并且假设 ( X 0 X T −1 存在，得：
)
T
0
0
T
的真实中心频率时，VME 的分离精度越高，因此，能 t y ( T ) −1
f = X 0 X X 0 t （19）
否准确地预设 ω d 是 VME 算法能否有效执行的关键。 ∥y∥ 2 0

取 式（ 19） 的 特 解 f 为 一 组 最 优 滤 波 器 ， 即
2 MOMEDA 算 法 MOMEDA 问题的解：
( ) −1
f = X 0 X T X 0 t （20）
0
设 x为传感器采集到的振动信号，可表示为： 通过将式（20）代入 y = X f 中，可以最大程度地
T
0
x = h∗ y+e （11） 还原出原始的脉冲序列 y。

式中， h为传递函数； y为轴承故障产生的脉冲序列；
e为噪声干扰。 3 基 于 AVME-OMOMEDA 的 故 障 诊 断
MOMEDA 算法的主要目的是通过非迭代的方
方 法
法提取连续的周期性脉冲序列，具体来说，就是通过

寻求一个滤波器参数为 f 的最优 FIR 滤波器，从系统
3.1 AVME 降噪
输出的振动信号 x中尽可能地恢复原始脉冲序列 y：
N−L S 变 换 将 一 维 时 域 信 号 转 换 为 二 维 时 -频 域 信
∑
y = f ∗ x = f k x k+L−1 （12）
号 。 具 体 来 说， 由 给 定 的 一 个 时 域 信 号 x(t)， 通 过
k=1
，
其中， k = 1,2,··· ,N − L N和 L分别为 x和 的长度。 S 变换将其表示到时-频域上的连续形式为 [13] ：
f
 2 2 
w     −
MOMEDA 算法引入了多点 D-范数（multi D-norm， ∞ | f| (τ−t) f      −i2πft
2
S (τ, f) = x(t) √ e e dt （21）
MDN） [10] ，其定义为： −∞ 2π
f
T
1 t y 式中， τ控制高斯窗的位置； 为频率。
MDN(y, t) = （13）
∥t∥ ∥y∥ 由式（21）可知，S 变换是一种频率分辨率变化的
式中， t为用于确定目标冲击脉冲的位置和权重的向 时频分析方法，高斯窗的窗长与频率成反比，导致
量， t = [t 1 ,t 2 ,···,t N−L ]。 S 变换的频率分辨率在信号的低频段较高，时间分
当 t与 y达 到 一 致 时 ， MOMEDA 解 卷 积 效 果 最 辨率在信号的高频段较高。因此，S 变换对于高频
佳，此时，MDN 取得最大值。因此，将寻找最优滤波 冲击成分尤为敏感，适用于在滚动轴承出现故障时，
器的问题转化为计算 MDN 的最大值： 对其产生的周期高频冲击特征进行提取。