Page 47 - 《武汉大学学报（信息科学版）》2025年第6期

第 50 卷第 6 期 王 坚等：超高层建筑变形 GNSS 多源融合监测方法及进展 1069

的常用手段，其采样频率可达 1 000 Hz，为短时
间 内 精 细 结 构 监 测 提 供 了 有 效 方 法 。 加 拿 大
Measurand 公司采用加速度计阵列进行空间形态
监测，开发的 SAA（shape accel array）监测系统已
广泛应用于隧道掘进过程变形、大坝变形与滑坡
等领域的变形监测 ［31］ 。中国清华大学研究团队
利用 IMU 监测机器人的姿态，浙江大学研究团队
图 4 阵列式 IMU 变形监测模组 利用 IMU 获取硅橡胶的姿态重构水下曲面 ［32］ ，中
Fig. 4 Arrayed IMU Deformation Monitoring Module 国海洋大学研究团队利用 SAA 监测系统在黄河
三角洲浅水区域监测水下地形的横向变形 ［33］ ，但
核心参数。功率谱密度作为频谱分析中最为广
目前尚未见到 IMU 在超高层建筑变形监测中的
泛应用的方法之一，通过傅里叶变换将随机信号
应用报道。
从时域或空间域转换到频域，进而提取随机信号
IMU 的加速度计在进行变形监测时不需要
的主征频率 ［30］ 。功率与频率的关系由功率谱密
外界信息辅助，但其变形结果需要通过二次积分
度（power spectral density，PSD）曲线表示。计算
得 到 ，容 易 受 到 温 度 、气 压 、光 照 等 环 境 因 素 影
过程如下：将随机信号 x（n）作为有限能量级数，
响，导致稳定性较差，并且随着时间的推移存在
计 算 其 快 速 傅 里 叶 变 换（fast Fourier transform，
系统性偏移。随时间产生的漂移误差主要由加
FFT）。X（k）是 FFT 函数的结果，是信号在频域
速度数据的高低频噪声引起，通过引入 FID（free
上的表示，包含信号的幅度谱和相位谱信息，计
induction decay）数字滤波方法可以有效滤除高频
算式为：
和 低 频 噪 声 ，从 而 补 偿 随 时 间 累 积 的 误 差 。 然
N - 1
x
X (k) = ∑ (n) e -j2πkn/N （1） 而，滤波方法通常需要位移和速度的初始值，而
n = 0
式中，x（n）为采集的加速度信号序列，其中 n 为序 在实际应用中往往难以获得这些初始条件。频
列 的 索 引 数 ，取 值 范 围 为 0，1，… ，N− 1，N 为 x 域积分方法通过将加速度信号从时域转换到频

（n）的采样点个数；j 为虚数；k 为频率索引，k=0， 域，去除高频和低频噪声后再将其转换回时域，
1，2，… ，N − 1。 FFT 揭 示 了 信 号 的 频 率 组 成 ， 从而获取高精度的位移信息 ［34-35］ ，计算式为：
ù
é
ê ê
ú ú
PSD 进一步提供了信号各频率分量中存在的功 F êê∫ t a( t ) dtúú = 1 ⋅ F [ a( t ) ] （4）
率信息，特别适用于了解能量或功率在各个频率 ë -∞ û jω
式中，F［⋅］为傅里叶变换；a（t）表示加速度信号；t
上的分布，如振动分析。
将 X（k）的模方除以 N 可得到信号的 PSD，记 表示时间变量；w 表示频率。由式（4）可知，对加
为 S（k），计算式为： 速度信号积分结果进行傅里叶变换，等价于对该
信号的傅里叶变换除以因子 jω，这一性质可将复
S(k) = | X (k) | 2 （2）
1
N 杂的积分运算简化为除法运算。频域积分法首
由于估计方差较大，上述传统的 PSD 存在失 先对加速度信号做傅里叶变换，将时域信号转化
效问题。此外，随着 x（n）长度的增加，方差并没有 为频域信号，在频域内完成运算；然后经傅里叶
减小。为了克服这些限制，Welch 方法首先将随机 逆变换得到时域的速度和位移信息。
信号分段且每个段之间部分重叠，以降低方差；然 对加速度信号作傅里叶变换后的频谱 A（k）
后计算每个段的 PSD，并取其平均值以获得更稳 计算式为：
定的估计。平均周期图函数 S xx （k）的定义为： N - 1 -j2πnk/N
A( k )= ∑ a( n )e （5）
M
1 X i(k) X i (k)
S xx(k) = ∑ * （3） n = 0
MN 式中，a（n）是 a（t）的离散化表达。
i = 1
式中，i 为段的索引，取值范围为 1≤i≤M，M 为平 根据式（4）和式（5），经过一次积分得到速度
均次数； X i (k) 为随机信号第 i 段的傅里叶变换； 信号的频域 V（n），计算式为：
X i (k) 为 X i (k) 的共轭复数。 A( k ) N - 1 1
*
V ( n )= = ∑ H ( k ) a( n )e -j2πnk/N
3.2.2 IMU 平移‑沉降监测 jω k = 0 j2πkΔf
IMU 中 的 加 速 度 计 是 监 测 位 移 变 形 信 息 （6）