Page 405 - 《软件学报》2026年第2期

884 软件学报 2026 年第 37 卷第 2 期

∑ ∑ β
及的 Pollard 的 lambda g p 2 p 2 p 3 m Q j , 同理计算
1 2
解密方法, 计算以
1 底的 R 1 的离散对数便可得到统计和 Q⊆S j=1
∑ ∑ β
2
0 2
以 g p 2 p 2 p 3 底的 R 2 的离散对数便可得到平方和 m . 最后, CS 返回给 RC 可验证的数据信息 ψ = {C R ,
1 Q⊆S j=1 Q j
σ R ,t R ,id CS }.
(7) 验证与解密阶段
1) ψ, 并执行公式 (13) 来验证统计分析结果在传输过程中是否被篡改或替换.
RC 接收可验证数据信息
( ) ( )
˜ e g,σ R,2 = ˜e(y,H 1 (id CS )) ˜e σ R,1 ,H 2 (c R,1 ||c R,2 ||t R ) (13)
( ) ( r ′ R r ′)
2) 若验证通过, 则 RC 利用 sk RC 对密文分析结果 C R = c R,1 ,c R,2 = g ,g ·W 进行解密, 并设置 R =
t
c R,2
R g t 为底
t
( ) = g , 再计算以 R 的离散对数得到统计结果 R .
˜ e sk RC ,c R,1
4 安全分析
4.1 正确性证明
首先, 针对方案各阶段的密文数据完整性验证, 已给出其正确性证明.
)
( ∏ ( ∏ ) ∏
β β β ( )
公式 (5) ˜ e g, (σ i j ,2 ) ς i j = ˜e y, )) ς i j ˜ e σ i j ,1 ,(H 2 (c i j ||t i j )) ς i j 的正确性推导过程如下:
j=1 j=1 j=1
(H 1 (id DO i j
) )
( ∏ ( ∏
β β
δ
˜ e g, (σ i j ,2 ) ς i j = ˜e g, ) · H 2 (c i j ||t i j ) ) ς i j
w i j
j=1 j=1 (H 1 (id DO i j
) ( )
β β
( ∏ ∏
= ˜e g, ) ) ˜ e g , (H 2 (c i j ||t i j )) ς i j
δ ς i j
w i j
j=1 (H 1 (id DO i j j=1
β β ( )
( ∏ ) ∏
= ˜e y, )) ς i j ˜ e σ i j ,1 ,(H 2 (c i j ||t i j )) ς i j .
j=1 (H 1 (id DO i j j=1
( ∏ n ) ( ∏ n )∏ n
公式 (7) ˜ e g, (σ i,2 ) ς i = ˜e y, )) ς i ˜ e σ i,1 ,(H 2 (c i ||t i )) ς i ) 的正确性推导过程如下:
(
(H 1 (id ES i
i=1 i=1 i=1
( ∏ n ) ( ∏ n )
δ
˜ e g, (σ i,2 ) ς i = ˜e g, (H 1 (id ES i ) · H 2 (c i ||t i ) ) ς i
w i
i=1 i=1
( ∏ n ) ( ∏ n )
ς i δ
= ˜e g, (H 1 (id ES i ) ) ˜e g, (H 2 (c i ||t i ) )
ς i w i
i=1 i=1
( ∏ n )∏ n ( )
= ˜e y, (H 1 (id ES i )) ς i ˜ e σ i,1 ,(H 2 (c i ||t i )) .
ς i
i=1 i=1
( ∏ n ) ( ∏ n )∏ n ( )
公式 (9) ˜ e g, ( ˜σ i,2 ) ς i = ˜e y, )) ς i ˜ e ˜σ i,1 ,(H 2 (ct i ||c i ||V i ||t i )) ς i 的正确性推导过程如下:
(H 1 (id ES i
i=1 i=1 i=1
( ∏ n ) ( ∏ n )
˜ e g, ( ˜σ i,2 ) ς i = ˜e g, (sk i · H 2 (ct i ||c i ||V i ||t i ) )
w i ς i
i=1 i=1
( ∏ n ) ( ∏ n )
= ˜e g, (H 1 (id ES i ) ) e g , (H 2 (ct i ||c i ||V i ||t i )) ς i
δ ς i
w i
˜
i=1 i=1
( ∏ n )∏ n ( )
= ˜e y, (H 1 (id ES i )) ς i ˜ e ˜σ i,1 ,(H 2 (ct i ||c i ||V i ||t i )) .
ς i
i=1 i=1
(
(
)
公式 (13) ˜ e g,σ R,2 = ˜e(y,H 1 (id CS )) ˜e σ R,1 ,H 2 (c R,1 ||c R,2 ||t R ) 的正确性推导过程如下:
)

( ) ( ) ( )
( ) ε δ ε
˜ e g,σ R,2 = ˜e g, sk CS · H 2 (c ||c ||t R ) = ˜e g,H 1 (id CS ) ˜e g,H 2 (c ||c ||t R )
R,1 R,2 R,1 R,2
)
(
= ˜e(y,H 1 (id CS )) ˜e σ R,1 ,H 2 (c R,1 ||c R,2 ||t R ) .
( ) ( ) ( )
公式 (6) ) 的正确性推导类似于公式 (5), 同样, 公式 (8)、(10)–(12)
) ˜e σ i j ,1 ,H 2 (c i j ||t i j
˜ e g,σ i j ,2 = ˜e y,H 1 (id DO i j
的正确性推导分别类似于公式 (7)、(9) 和 (13), 证明过程不再赘述.
4.2 安全性分析
定理 1. 基于 TEE 安全高效的细粒度统计分析与可验证数据聚合方案可确保数据拥有者数据在各阶段的机
密性.
m 2
证明: 通过 ODMT-BGN m i j i j r i j 批
2
1
3
DO i j 算法加密医疗数据 m i j 得到密文数据 c i j = u u u , 在 ES i 对可验证信息 ψ i j