Page 101 - 《摩擦学学报》2020年第6期

784 摩 擦 学 学 报 第 40 卷

(
α β混淆，现将文献[21]中的 、
免与几何模型中的 、 α β在 1 ∂p (u θ ) 2 )
2
u r = −ρ (z −zh) (8a)
本文中表示为 α L 与 ). 2η ∂r r
β L
1.2.4 真实效应下压力控制方程 1 1 ∂p ωrz
2
u θ = (z −zh)+ (8b)
由式(2)、式(3)与式(4)，可获得在稳态条件下，考 2η r ∂θ h
虑离心惯性力效应，以及真实气体效应，真实黏度的 将式(8b)代入式(8a)，并对式(8a)沿膜厚方向积
压力控制方程： 分，然后对积分后的结果忽略 h 以上的小量后，可得
3
( ) ( )
3
1 ∂ h 3 ∂p 2 ∂ rh ∂p 2 单位宽度上径向体积流量 q r. 对式(8b)沿膜厚方向直接
+ =
r ∂θ ηZT ∂θ ∂r ηZT ∂r 积分，可得单位宽度上周向体积流量 q θ ：
( ) ( )
2
2 2 3
∂ ph 3ω ∂ p r h ∫
12rω + (5) h h 3 ∂p ρ
2 3
2
∂θ ZT 5R g ∂r ηZ T 2 q r = u r dz = − ( )+ (r ω h ) (9a)
2
0 12η ∂r 40ηr
式中：压缩因子 Z(p,T)、黏度 η(p,T)均是关于压力与温
∫
3
h h 1 ∂p rωh
度的函数，因此，在求解该方程时需要与能量方程耦 q θ = u θ dz = − + (9b)
0 12η r ∂θ 2
合求解.
1.3.2 流体内能的变化
1.3 能量控制方程
在推导干气密封能量方程时忽略位能与动能的
为揭示离心惯性力效应对气膜内温度的影响，本
变化，然后，取高度为 h的微柱体hrdθdr，并设 、 分
文中暂时只研究绝热状态下的能量方程，即只考虑密 q r q θ
别为微柱体在 r 与 θ方向的体积流量. 则在 与 θ方向流
r
封端面内气膜的内能与机械功之间的转化，忽略界面
入微柱体hrdθdr的热流密度则分别为
热传导引起的能量交换.
1.3.1 流量控制方程 Q r =ρq r c v T (10a)
干气密封端面间的流场属于微尺度流场，因此， Q θ =ρq θ c v T (10b)
为了建立描述密封端面间的流量控制方程，在本文中 那么在 r 与 θ方向流入微柱体hrdθdr的热流量则分
做出如下假设： 别为
(1) 流场为定常流场，流体为牛顿流体，流态为层流； Q r rdθ (11a)
(2) 压力、温度、黏度沿膜厚方向无变化；
Q θ dr (11b)
(3) 忽略体积力(重力)，以及忽略挤压膜的存在；
(4) 以 z轴代表膜厚方向，由于膜厚远小于其他两 在 r 与 θ方向，流出微柱体hrdθdr的热流量则分
个方向的尺寸，因此，在黏性项中只保留速度关于 z的 别为
( )
偏导数，其他项忽略不计； ∂Q r
Q r + dr rdθ (12a)
(5) 只考虑离心惯性力效应； ∂r
(6) 壁面光滑，且无滑移； ( ∂Q θ )
Q θ + dθ dr (12b)
(7) 不考虑动、静环变形. ∂θ
根据N-S方程 ，并采用以上假设，则在柱坐标下 根据微柱体内热流平衡，可得微柱体内净热流
[22]
考虑离心惯性力效应的简化N-S方程为 量为
(u θ ) 2 1 ∂p 1 ∂ ( ∂u r ) ( ) ( )
− = − + η (6a) Q θ + ∂Q θ dθ dr − Q θ dr + Q r + ∂Q r dr rdθ − Q r rdθ =
r ρ ∂r ρ ∂z ∂z ∂θ ∂r
( )
( )
1 ∂p 1 ∂ ∂u θ ∂Q θ ∂Q r rdθdr (13)
+
0 = − + η (6b) r∂θ ∂r
ρ r∂θ ρ ∂z ∂z
根据动、静环的实际运行条件，及无滑移边界，相 以 W表示该微柱体中所做的机械功，则根据能量
应有如下速度边界条件： 守恒可得：
( )
{
z = 0,u r = 0,u θ = 0 ∂Q θ ∂Q r
(7) + rdθdr=W (14)
z = h,u r = 0,u θ = ωr r∂θ ∂r
通过对式(6a)、式(6b)在膜厚方向积分，然后结合 1.3.3 流动功
边界条件(7)可得气膜内径向速度 u r与周向的速度 ： 对于高度为 h的微柱体hrdθdr，则在 与 θ方向的流
r
u θ