Page 135 - 《爆炸与冲击》2026年第3期

第 46 卷 邹 震，等： 增强内凹蜂窝夹层结构弯曲力学性能及多目标优化设计 第 3 期


E (z(x)) = 0
Var(z(x)) = σ 2 (5)
( ( )) ( )
 2
Cov z(x i ),z x j = σ R θ, x i , x j
式中：E 是 z(x) 非零静态随机过程的期望值；Var 是 z(x) 非零静态随机过程的方差；σ 为标准差；Cov 是
z(x ) 和 z(x ) 偏离其期望值乘积的期望；R(θ, x , x ) 为 θ 未知参数的相关函数，可表示 2 个任意样本点 x 、
i j i j i
x 的空间相关。
j
选择常见的 Gaussian 函数作为相关函数。当利用 Kriging 代理模型求解非线性程度较高的优化问
题时，仅依靠初始抽取样本点拟合的代理模型预测精度较低，导致最终优化求解效果不佳。为提高
Kriging 代理模型预测非线性程度较高优化问题的求解精度，采用结合加点准则的自适应 Kriging 代理模
型。通过初始抽取的样本点求解代理模型后，如确定代理模型求解精度不满足要求，添加新的样本点更
新 Kriging 模型以进一步提升求解精度。重复上述加点过程，直至求解精度满足设计要求。采用的加点
准则包括最小化代理模型预测准则和均方差准则，抽取代理模型中最优解与预测误差最大点作为新样
本点。收敛准则为当新样本点与已有最优样本点之间的相对误差小于设定阈值时，输出满足精度要求
的 Kriging 代理模型。利用决定系数 R 和 2 MAE 分析 Kriging 代理模型的预测精度，其表达式如下：
k
∑ 2
(ˆy i −y)
2
R = i=1 (6)
k
∑
(y i −y) 2
i=1
式中：y 为第 i 个样本点的真实响应值， ˆ y i 为第 i 个样本点的预测值， y 为所有样本点响应值的平均值，
i
2
2
k 为所有样本点的个数。R 越大、MAE 越小，代理模型预测精度越高，一般要求 R 不小于 0.9。图 14 为
2
Kriging 代理模型中预测点与样本点的分布关系，其中代理模型在预测 Y1 (m)、Y2 (F )、Y3 (E ) 的 R 分别
m
a
为 0.97、0.92、0.94，证明代理模型具有较高的预测精度。
250 800 35

Sample points 700 R =0.92 30 R =0.94
Sample points
Sample points
Actual value/g 150 Actual value/N 600 Actual value/J 25
200
2
2
R =0.97
2
20
500
15
100 150 200 250 400 500 600 700 800 10 15 20 25 30 35
Predicted value/g Predicted value/N Predicted value/J
(a) Y1 (m) (b) Y2 (F m ) (c) Y3 (E a )
图 14 Kriging 代理模型的预测精度
Fig. 14 Prediction accuracy of Kriging surrogate model
4.4 优化算法及优化结果
多目标优化问题（multi-objective optimization problem, MOOP）是指在 2 个或多个矛盾的目标之间通
过合理权衡和妥协给出最优决策方案集。在吸能防护的相关问题上，结构的力学性能与轻量化往往相
互冲突，即越大质量往往能实现更优越耐撞性，但同时也牺牲结构的轻量化性能。因此，减小结构质量
并提升其耐撞性是典型的冲击防护问题。多种优化算法相继提出以实现两个或多个目标之间的合理权
衡和妥协，不同优化算法原理上不尽相同，但目标均为遍历所有可能结果后给出一组最优方案平衡多个

冲突目标，这一组平衡冲突目标的优化解集被称为“Pareto 前沿”。设计人员根据工程应用需求、成本
等多因素考量，从“Pareto 前沿”中选取最合适解。此处，采用 NSGA-Ⅱ优化算法平衡 RRH 夹层梁 m、
F 、E 之间的冲突关系，并得到质量约束下 F 与 E 的“Pareto 前沿”。表 2 是从 Pareto 前沿选取的部
a
m
a
m
033103-12