Page 89 - 《真空与低温》2026年第2期

208 真空与低温 第 32 卷 第 2 期

[ (m) ]
∂ [ (B) (m) (m) ] ∑ (B) (m) (m) (m) ∂H δ ∂T (m)
(1−ϕ )(1−ϕ )ρ s C v,s T + (1−ϕ )ϕ γ ρ =
∂t δ ∂T (m) ∂t
δ=o-H 2 ,p-H 2
∑ [ ] ∑ [ ] [ ]
(B) (m→B)
− H q (m→B) + H q +h mB a mB T (B) −T (m) +S e ±S r H (m) （15）
δ δ δ δ δ
δ=o-H 2 ,p-H 2 δ=o-H 2 ,p-H 2
1.2.2 模型的数值求解 表物理量的时间坐标，下标（i，j）、（f，j）、（i，k）等代
本节采用控制容积积分法对数值求解模型 表物理量的空间坐标。
进行离散，为了描述的简洁性我们采用二维网格 将方程式（12）～（15）进行隐式离散，得到方程
对计算区域进行划分，并取区域中空间坐标为 式（16）～（19）。
（i，j）的节点进行研究。后续式中划分的空间网格 将方程式（1）、（3）进行显式离散，得到方程式
步长为 ∆x和 ∆y，时间步长为 ∆t。上标 n 和 n+1 代 （20）和式（21）。

[ ] ∑ [ ] ∑ [ ]
( ) n+1 ( ) n ( ) n+1 ( ) n+1
ϕ ρ − ϕ ρ ∆x∆y+ ρ α p (B) S f ∆t + ρ α p (B) S k ∆t =
(B) (B)
(B)
(B)
(B) (B)
(B)
(B)
i,j i,j o f,j o i,k
f=i±1/2 k=i±1/2
∑ ( ) n+1
q (m→B) ∆t∆x∆y （16）
δ i,j
δ=o-H 2 ,p-H 2
 ( )n+1    ( )n+1 
∑  ∂H (B) ( ) n+1 ( ) n   ∑  ∂H (B) ∑ [ ( ) n+1 ] 
    
 (B) (B) (B) δ (B)   (B) (B) δ (B) (B) 
 ϕ ρ γ T − T (B)  ∆x∆y +  ρ γ V T S f ∆t +



 ∂T (B) i,j i,j    ∂T (B) x;δ f,j 
   
δ=o-H 2 ,p-H 2 i,j δ=o-H 2 ,p-H 2 i,j f=i±1/2
   
( (B) )n+1 ( (B) )n+1
∑  ∂H ∑ [ ( ) n+1 ]  ∑  ∂H ∑ [ ( ) n+1 ] 
   
 (B) (B) δ (B) (B)   (B) (B) δ (B) (B) 
 ρ γ V T S k ∆t =  T ρ V T S f ∆t +
 (B) y;δ i,k   (B) x;δ f,j 
 ∂T   ∂T 
i,j k=j±1/2 i,j f=i±1/2
δ=o-H 2 ,p-H 2 δ=o-H 2 ,p-H 2
   ( ) ( )
( (B) )n+1 (B) n+1 (B) n+1
∑  ∂H ∑ [ ( ) n+1 ]   T − T
 δ (B)   i+1,j i,j
(B) (B)

 T ρ V T (B) S k ∆t +(λ e ) −
 

 ∂T (B) y;δ i,k   i+1/2,j ∆x
 
δ=o-H 2 ,p-H 2 i,j k=j±1/2
)
)
)
)
)
)
( (B) n+1 ( (B) n+1   ( (B) n+1 ( (B) n+1 ( (B) n+1 ( (B) n+1 
T i,j − T   T i,j+1 − T i,j T i,j − T 

(λ e ) i−1/2,j i−1,j  ∆t∆y+(λ e ) i,j+1/2 −(λ e ) i, j−1/2 i,j−1  ∆t∆x+






∆x   ∆y ∆x 
 
 ∑ ( ) n+1 ∑ ( ) n+1 
 [ ] n+1
 (m→B) (B) (m→B)  (m) (B)
 H q − H q ∆t∆x∆y+ h mB a mB (T −T ) ∆t∆x∆y

 δ δ δ δ
  i,j
 i,j i,j 
δ=o-H 2 ,p-H 2 δ=o-H 2 ,p-H 2
（17）
 n+1  n 
(m) (m) (m) (m) (m) (m)
ϕ M p  ϕ M p   ∑ ( ) n+1

H 2   H 2   (m→B)
     （18）
 
   ∆x∆y = −q ∆t∆x∆y
ZRT ZRT
  −   δ
 (m) (m)  i,j
z,r z,r δ=o-H 2 ,p-H 2
{[( )n+1
{ } (m)
[ ] n+1 [ ] n ∑ (m) ∂H δ
(m)
(m) (m)
(m)
(B)
(B)
(1−ϕ ) (1−ϕ )ρ s c v,s T (m) − (1−ϕ )ρ s c v,s T (m) ∆x∆y (1−ϕ )ϕ ρ γ δ
z,r z,r ∂T (m)
δ=o-H 2 ,p-H 2 i,j
] } ] ]
( ) n+1 ( ) n ∑ [ ( (m→B) ) n+1 ∑ [ ( (B) (m→B) ) n+1
T (m) − T (m) ∆x∆y = − H δ q ∆t∆x∆y + H q ∆t∆x∆y +
i,j i,j δ i,j δ δ i,j
δ=o-H 2 ,p-H 2 δ=o-H 2 ,p-H 2
[ (m) (B) ] n+! n+1 (m) n+1
h mB a mB (T −T ) i,j ∆t∆x∆y+(S e ) i,j ∆t∆x∆y±(S r H ) ∆t∆x∆y （19）
i,j
δ
[ ] ∑ [ ] ∑ [ ]
( (B) ) n+1 ( (B) ) n ( (B) ) n+1 ( (B) ) n+1 ( (m→B) ) n+1
(B)
(B) (B)
ϕ ρ γ − ϕ ρ γ ∆x∆y+ ρ V S f ∆t + ρ V S k ∆t = q ∆t∆x∆y
(B)
(B) (B)
i,j
o-H 2 i,j o-H 2 i,j x;o-H 2 f,j y;o-H 2 i,k o-H 2
f=i±1/2 k=i±1/2
（20）
[ ]
( ) n+1 ( (m) (m) ) n+1 ( ) n ( (m) (m) ) n ( (m→B) ) n+1
ϕ (m) ρ γ − ϕ (m) ρ γ ∆x∆y = − q +S r ∆t∆x∆y （21）
i,j o-H 2 o-H 2 i,j i,j o-H 2 o-H 2 i,j o-H 2 i,j
IMPTECR 算法将离散方程式（16）～（21）组成 数值求解模型，求解流程如图 1 所示。