Page 213 - 《振动工程学报》2025年第9期

第 9 期 李 鑫，等：基于鲁棒代价敏感支持矩阵机的风电齿轮箱故障诊断方法 2143

X i 行与行（或列与列）之间的结构信息。 为第 i 个正类和负类样本； 和 分别为第 i 个正
ϖ i + ϖ i −
类和负类样本的权重系数。

2 RCSSMM 模 型
2.2 模型求解

2.1 模型构建 由于核范数 ∥W∥ ∗ 的存在，RCSSMM 模型的目标
函数是一个连续非光滑凸优化问题，因而本文采用
由式（1）可知，SMM 为每一个矩阵样本分配了
交替方向乘子（alternating direction method of multipliers，
相同的权重系数，忽略了数据的先验分布特征，导致
ADMM）算法 [21] 获得其全局最优解。
其对噪声和野值点极其敏感。为此，本文采用集成
首先，通过引入辅助变量 S，式（4）可改写为：
矩阵度量（assembled matrix distance，AMD） [19] 评估样
1 ( T ) n + ∑ n − ∑
本间的分布特征： min tr W W +γ∥S∥ ∗ +C + ϖ i+ ζ i +C − ϖ i− ζ i
W,b 2
1 i + =1 i − =1
 
 0.5p p [ ( ) ]
d 1
 d 2 ∑ ∑(  T
 ) 2 
( )   [ ]   s.t. S−W = 0,y i tr W X i +b ⩽ 1−ζ i ,ζ i ⩾ 0 （5）
ψ X i , X j =             （2）
  [X i ] kl − X j kl  
  式（5）的 Lagrange 函数可表示为：
l=1 k=1
式中，d 1 和 d 2 分别为二维矩阵样本 X i 和 X j 的特征维 1 ( T ) ρ

A

2
L = tr W W +γ∥S∥ ∗ +
S−W +
+
度；p 为幂因子，在文献 [19] 的研究基础上，结合经 2 2
ρ
F
验知识，本文 p 取为 0.25。 n + ∑ { [ ( T ) ]}
C + ϖ i + 1−y i tr W X i +b + +
相较于传统的欧式度量、余弦度量等，AMD 可 i + =1
以直接度量两矩阵数据间的距离，而无需向量化操 n − ∑ { [ ( ) ]}
T
1−y i tr W X i +b （6）
C − ϖ i −
作。噪声或野值点通常分布分散，且位于正常数据 i − =1 −
的分布边界外。基于上述先验知识，定义样本 X i 的 式中，A 为 Lagrange 乘子；ρ 为迭代步长， ρ > 0。
权重系数 ϖ i 为： 根据 ADMM 算 法 ， 式 （ 6） 可 解 耦 成 关 于 S、

 ψ −ψ min (W,b)和 的三个子优化问题。优化迭代过程如下：
 i A
 ，ψ min ⩽ ψ < ψ ave
 1−
 i
  ( ( ) )
 ψ max −ψ min （3）  S k+1 k k k
  q := minL S, W ,b , A
ϖ i = 


    ( )
i
  ψ −ψ min  k+1 k+1 k+1 k （7）
 
 1−   W ,b := minL S ,(W,b), A
 +t，ψ ave ⩽ ψ ⩽ ψ max
   ( )
  i

ψ max −ψ min  k+1 k k+1 k+1
( ) A := A +ρ S −W
式 中， ψ = ψ X i X 为 X i 到 样 本 中 心 X的 AMD； ψ min 、
i
式中，k 表示迭代次数；“:=”表示赋值运算符。
ψ max 和 ψ ave 分别表示 ψ 的最小值、最大值和平均值； 接下来，将详细推导 S、 (W,b)和 的迭代求解过程。
i
t 为 非 零 常 数 ， 用 于 防 止 权 重 系 数 过 小 ， 本 文 取 为 A
（1）更新 S：将 (W,b)和 A 视为常数，则式（6）关于
0.001。随着 ψ 的增大， X i 的权重系数 ϖ i 先呈线性下
i
S 的优化问题可以表示为：
，
降，当超过平均值 ψ ave ϖ i 呈指数下降。通过式（3）可

2
为噪声或野值点赋予较小的权重系数，以抑制其在 L = γ∥S∥ ∗ + ρ

S−W + A
（8）

2
ρ
F
建模过程中的影响，提高模型的鲁棒性。
根据文献 [16]，式（8）的最优解为：
此外，SMM 在处理不平衡数据时，假设多数类
A
和少数类的错分代价相同，使分类超平面易向多数 S = D γ\ρ (W − ρ ) （9）
类一侧偏移，极大地降低了模型的分类性能。为此， 式中， D γ\ρ (·)表示奇异值收缩算子。
引 入 代 价 敏 感 损 失 函 数， 为 正 类 样 本 （ 类 别 标 签 （2）更新 (W,b)：同理，将 S 和 A 视为常数，则式（6）
为+1）和负类样本（类别标签为−1）分配不同的惩罚
关于 (W,b)的优化问题可以表示为：
因子 C + 和 C − ，使得建模过程中多数类样本获得较小的
1 ( T ) n + ∑ n − ∑
ζ
ζ
误分代价，而少数类样本获得较大的误分代价，以迫 min tr W W +C + ϖ i + i +C − ϖ i − i +
W,b 2
i + =1 i − =1
使分类超平面向少数类一侧调整，从而提高对不平衡

A

2
ρ
数据的分类性能。同时，为了减少参数设置过程中的
S−W +
2
ρ
F
专家依赖性，采用哈里斯鹰优化算法 [20] 自适应地确定 [ ( ) ]
T
s.t. y i tr W X i +b ⩽ 1−ζ i ,ζ i ⩾ 0 （10）
C + 和 C − 的最优取值，具体优化过程见本文 2.3 节。
式（10）的 Lagrange 函数为：
通过引入 ϖ i C + 和 C − ，所提 RCSSMM 模型的目 1 ( ) n + ∑ n − ∑ n ∑
、
T
ζ
ζ
标函数可表示为： L = 2 tr W W +C + ϖ i + i +C − ϖ i − i − β i ζ i +
i + =1 i − =1 i=1
1 ( T ) n + ∑ n − ∑

2 n ∑
]
}

)
{ [ (
T
min tr W W +γ∥W∥ ∗ +C + ϖ i+ ζ i +C − ϖ i− ζ i ρ

A
α i y i tr W X i +b −1+ζ i （11）
W,b 2
S−W +
+
i + =1 i − =1 2
ρ
F i=1
[ ( ) ]
T
s.t. y i tr W X i +b ⩽ 1−ζ i ,ζ i ⩾ 0 （4） 式中， α i 和 为 Lagrange 乘子。
β i
式中，n + 和 n − 分别为正类和负类样本个数；i + 和 i − 分别 分别求式（11）关于 ζ i 和 b 的偏导数，并令其为 0：