Page 347 - 《软件学报》2021年第5期

陈鑫 等:高斯卷积角:用于叶片图像检索的形状描述不变量 1571

同理可得:
R ξ
λ
ξ σ + ()t =⋅ ⋅ σ + ()t (10)
因此,我们有:
θ σ ()t = Γ (ξ σ − ( )/t ξ σ + ())t = Γ (ξ σ − ()/t ξ σ + ( ))t = θ σ ()t (11)
则可推出:
ω σ () sin(t = θ σ ()) sin(t = θ σ ( ))t = ω σ ()t (12)
从以上推导,我们可以得出,高斯卷积角描述子满足对于相似性变换的不变性. □
(2) 镜像变换
证明:不失一般性,我们假设叶片形状在 y 轴上发生镜像变换,则形状轮廓Ω的参数方程的镜像版本为
zt () =− x (1 t− ) + j y⋅ (1 t− ) = − z (1 t− ) (13)
这里, (1z − ) t 表示 z(1−t)的共轭复数.值得指出的是:公式(13)中,横纵坐标的参数由原来的 t 变为 1−t,是因为轮廓
线发生翻转后,跟踪和参数化轮廓线的方向将与原来相反.由高斯卷积角的定义,我们有:
ξ σ − () t = − ∫ 0 1 G r ⋅ σ ( ) ( ( z t + ) r − z t ( ))dr
2
= − ∫ 0 1 Gr ⋅ σ ( ) [ z − − (1 t − ) r + z (1 t − )]dr (14)
2
= − ∫ 0 1 Gr ⋅ σ ( ) [ z − − (1 t − ) r + z (1 t − )]dr
2
将上式的 r 换成−r,可推得:
1
ξ σ − ( )t = 0 ∫ 2 G σ ()[ (1r ⋅ z − t + ) r − z (1 t− )]dr ξ = σ + (1 t− ) (15)
同理可得:

ξ σ + ()t = − ∫ 0 1 G σ ( ) [ (1r ⋅ z − t + ) r − z (1 t− )]dr ξ = σ − (1 t− ) (16)
2
因此,我们有:

θ σ ()t = Γ (ξ σ − ( )/t ξ σ + ())t = Γ (ξ σ + (1 t− )/ξ σ − (1 t− )) Γ (ξ = σ + (1 t− )/ξ σ − (1 t− )) (17)
因对于一个复数 z,我们有 Γ (1/ z = ( )z ,于是,由公式(17)和公式(4),我们可推得:
) Γ
θ σ ()t = θ σ (1 t − ) (18)
则高斯卷积角描述子的镜像变换版本为
−
ω σ ( ) sin(t = θ σ ( )) sin(t = θ σ (1 t − )) ω = σ (1 t ) (19)
上述推导表明:镜像变换只是改变了高斯卷积角描述子的弧长参数 t,将其由 t 变为了 1−t.
下面我们利用上述性质,构造满足对镜像变换不变的描述子.由公式(7),我们已将每一个轮廓点 z(t)的 k 个
尺度的高斯卷积描述子组合成了一个 k 维的特征向量ω(t),显然,我们有 ()tω = ω (1 t− ) .收集所有轮廓点 z(t)的 k
维的特征向量ω(t),可得到一个特征向量的集合Ψ,定义为
Ψ={ω(t),0≤t<1} (20)

显然,对于该集合的镜像变换版本Ψ ,我们有:
Ψ { ( ),0tω = t < ≤ 1} { (1 tω = − ),0≤ t < 1} { ( ),0tω = t 1} Ψ < ≤ = (21)
σ
即Ψ满足镜像变换的不变性.我们将高斯卷积角集合Ψ 作为最终的形状描述子. □
2.4 差异性度量
我们已将叶片形状描述成一个高斯卷积角特征向量的集合Ψ={ω(t),0≤t<1},那么比较叶片形状 A 和叶片
形状 B 的差异,可以通过计算它们的高斯卷积角特征向量集合Ψ A 和Ψ B 的 Hausdorff 距离来进行度量.我们首先
将轮廓线均匀采样 T 个点,即从弧长参数区间[0,1],均匀采样 T 个值:t 1 ,t 2 ,…,t T .则两个集合可表示为Ψ A ={ω A (t m ),