Page 38 - 《摩擦学学报》2021年第3期

第 3 期 菅光霄, 等: 齿轮磁流体润滑与动力学耦合研究 327

综合刚度的计算公式为 式中：M为磁化强度；H为磁场强度.

1 1 1 B
= + (5) H = − M (14)
k k m k h µ 0
−7
式中：k 为油膜刚度. µ 0 为真空磁导率， µ 0 =4π×10 H/m，B为磁感应强度.
h
部分学者对油膜刚度的计算进行了相关研究 [20-21] ， 求解Reynolds方程所使用的边界条件为
本文中采用的油膜刚度的计算公式 [22-24] 为  p(x in ) = 0



 p(x out ) = 0

∂F p  (15)
k h = (6)  p(x) ⩾ 0 (x in < x < x out )

∂h c
式中：h 为中心油膜厚度. 式中：x =-4.6b，x =1.4b；b为赫兹接触区半宽.
out
in
c

[25] 2.2 黏度方程
采用Weber能量法 ，求解齿轮的时变啮合刚度.
利用四阶Runge-Kutta 法求解动力学微分方程. η(p,T,H) = η c exp
  ( ) −S 0  
根据渐开线的性质，两齿轮在任意啮合点处的瞬   ( −9 ) Z T −138 







(lnη c +9.67) 1+5.1×10 p × −1 ×


时曲率半径为  T 0 −138 


 
R p (t) = r bp tanα+S, R g (t) = r bg tanα−S (7)      
 
 
  2 1.5k 1  

式中： α为分度圆压力角； r bp 和 r bg 分别为主、从动轮的 1+2.5φ−1.55φ +   

  1 3k 0 T  
 
  +  
3
基圆半径；S为啮合点到节点的距离. φ 2πr µ 0 (µ r −1)H 2
p
[26]
两齿轮在任意啮合点处的综合曲率半径 为 (16)
式中： η 0为T 温度下基载液的黏度，T =313 K；Z和S 分
R p (t)R g (t) 0 0 0
R(t) = (8) 别为黏压系数和黏温系数；r 为磁性颗粒的平均半径；
R p (t)+R g (t) p
k 为实验与理论黏度增量的比例系数，通常取0.5~3；
振动会引起轮齿表面速度的波动，两轮齿表面的 1
φ为 磁 性 颗 粒 的 体 积 分 数 ； k 为 玻 尔 兹 曼 常 数 ，
[27]
切向速度 为 0
−23
k 0 = 1.38×10 N·m/K.
{
˙
U p (t) = ω p R p (t)+θ p (t)R p (t)
(9) 2.3 密度方程
˙
U g (t) = ω g R g (t)+θ g (t)R g (t)
[ ( ) ]
−9
ρ=ρ 0 1+0.6×10 p/ 1+1.7×10 −9 −0.00065(T −T 0 )
式中：U 和U 分别为主、从动轮表面的切向速度，两者
p
g
(17)
的后一项表示由于振动引起的齿轮表面速度的波动值.
式中： ρ 0为环境压力下磁流体的密度.
两当量圆柱的卷吸速度为
(18)
ρ 0 =(1−φ)ρ c +φρ p
[ ]
U(t) = U p (t)+U g (t) /2 (10)
式中： ρ c 和 分别为基载液和磁性颗粒的密度.
ρ p

˙
˙
u = (θ p R p +θ g R g )/2 (11)
2.4 膜厚方程
式中：U为卷吸速度，u为齿轮副振动速度，表征由振动 x 2 2 ∫ x
2
h(x,t) = h 0 (t)+ − p(ζ,t)ln(x−ζ) dζ (19)
所引起的卷吸速度的波动值. 2R(t) πE
−∞

2.5 载荷方程
2 润滑模型
∫ ∫
x out x out
2.1 Reynolds 方程 pdx+ p m dx = F p (20)
x in x in

考虑外磁场作用、热效应以及时变效应的无限长
2.6 能量方程
[28]
线接触的Reynolds方程 为 ( ) ( )
2
∂T ∂T ∂ T T ∂ρ ∂p ∂p ∂u ∗
[ ] c ρ +ρu ∗ −k = − +u ∗ +τ
3
∂ ρh ∂(p− p m ) ∂(ρUh) ∂(ρh) ∂t ∂x ∂z 2 ρ ∂T ∂t ∂x ∂z
= 12 +12 (12)
∂x η ∂x ∂x ∂t (21)
式中： ρ和 η分别为磁流体的密度和黏度； p和h分别为 式中：c为磁流体的比热容；k为磁流体的热传导系数；
*
油膜压力和油膜厚度； p m 为磁场力. u 为磁流体的流速，其计算方法由文献[11]给出.
∫ H k = φk e +(1−φ)k c (22)
p m = µ 0 MdH (13)
0 式中： k e和 分别为Fe O 磁性颗粒和基载液的热传导
4
k c
3