Page 129 - 《爆炸与冲击》2025年第6期

第 45 卷 周星源，等： 反射爆炸应力波作用下动静裂纹的贯通机理 第 6 期

将式 (4) 代入式 (3)，则能够得到Ⅰ、Ⅱ混合 y
型应力强度因子和非奇异应力项等差条纹之间 σ y
的表达式。 τ yx
在确定裂纹尖端后，将裂纹尖端设置为坐 σ x
r τ xy
(x 0 ,y 0 ) ，可以测量得到裂纹尖端附近等差 θ
标原点
(x k ,y k ) ，如图 所示，从而计算 O x
条纹上任意一点 1
出该点相对于裂纹尖端的极坐标 r k θ k )：
(
,
图 1 平面问题中裂纹尖端区域的应力单元
 √
2
r k = (x k − x 0 ) +(y k −y 0 ) 2
 Fig. 1 Stress element in crack tip region of plane problem
(5)
Å ã
y k −y 0
θ k = arctan

x k − x 0
(x k ,y k ,N k ) ，将其代入式 (3)～
在光弹系列图像中标记任意一点 (x k ,y k ) 处的等差条纹级数 N k ，得到多组
τ oxy 的五参数方程。为了求解以上五参数方程，利用
(4)，即可将其简化为一个包含 K Ⅰ 、 K Ⅱ 、 σ ox 、 σ oy 和
(x k ,y k ,N k ) ，联合建立一个超静定方程组，引入
多点法建立一系列方程，在各级等差条纹上选取数据点
Newton-Raphson 方法对该方程组进行求解，最终得到近似解，具体求解过程如下：
[ ] −1
T
T
X n+1 = X n − J · J J f (x n ) (6)
[ ] T
X n = K (n) K (n) σ (n) σ (n) σ (n) (7)
Ⅰ Ⅱ ox oy oxy
[ ] T
f = f 1 f 2 ··· f m (8)
 
∂f 1 ∂ f 1 ∂f 1 ∂f 1 ∂ f 1
 ∂σ (n) ∂σ (n) ∂σ (n) 
∂K Ⅰ ∂K Ⅱ
 ox oy oxy 
 
 ∂f 2 ∂ f 2 ∂f 2 ∂f 2 ∂ f 2 
 (n) (n) (n) 
J =  ∂K Ⅰ ∂K Ⅱ ∂σ ox ∂σ oy ∂σ oxy  (9)
 . . . . . 
 . . . . . 
 . . . . . 
 
 ∂ f m ∂f m ∂f m ∂f m ∂f m 
∂K Ⅰ ∂K Ⅱ ∂σ (n) ∂σ (n) ∂σ (n)
oxy
oy
ox
( ) 2
2
m +4τ −(n f 0 /d) 2 。
2
1
式中：f 、f 、······、f 为平面应力分量与光弹条纹级数的差，表达式均为 σ x −σ y xy
ε i ≤0.1 时停止求
在求解不相容方程组时，确定方程组收敛的指标为两步之差 ε i = X n+1 − X n ，设定
解。为了尽可能地求得精确的近似解，理论上应该在每级等差条纹上取 20～30 个数据点。在实际计算
过程中，如果同时代入 20～30 个数据点，由于这些数据点中难免存在误差较大的点，往往会导致计算结
果难以收敛。因此，在计算时将数据分组，每组选取 6～12 个数据点代入求解即可 [10, 32] 。

1.3 裂纹的扩展速度和加速度
根据光弹条纹系列图像中裂纹尖端的位置变化，裂纹的扩展速度和加速度分别为：
L(t i+1 )− L(t i−1 )
v(t i ) = (10)
2∆t
v(t i+1 )−v(t i−1 )
a(t i ) = (11)
2∆t
∆t t i+1 −t i−1 为实验中高速相机图像采集间隔时
式中： L(t i+1 ) 和 L(t i−1 ) 分别为裂纹在 t i+1 和 t i−1 时刻的长度， =
t i−1 时刻的速度。
间， v(t i+1 ) 和 v(t i−1 ) 分别为裂纹在 t i+1 和

2 实验设计

2.1 实验系统
实验系统如图 2 所示，由动光弹系统、起爆系统和加载装置构成。动光弹系统包括光源、凸透镜、
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