Page 292 - 《软件学报》2020年第10期

3268 Journal of Software 软件学报 Vol.31, No.10, October 2020

分曲线,然后将结果投影到曲面上,但是投影算法对于复杂曲面并不鲁棒.Morera 等人 [22] 与 Sarlabous 等人 [23] 均
采用测地细分策略,分别提出测地 Bézier 曲线与测地圆锥 Bézier 曲线的细分曲线生成算法.该方法虽然鲁棒,但
[5]
涉及到测地线的计算,时间复杂度较高.刘斌等人 提出了一种测地 B 样条插值方法,通过插值点反求控制点,并
运用最近点投影法将其映射到网格曲面上,然后采用插值误差反向补偿法使曲线逐渐逼近曲面.但该方法同样
耗时且投影算法可能存在多解,从而无法处理复杂曲面.Bock 等人 [24] 为生成曲边网格,在线性网格边上采样点,
将其投影到曲面上,并对投影点运用高阶样条拟合,其中,投影使用了光滑的 Phong 法向场,但生成曲线并不要求
严格地位于曲面.Panozzo 等人 [25] 借助 Frechet 均值定义,将欧式空间的加权平均法推广到流形空间,并用于设计
样条曲线.他们把网格曲面嵌入到高维空间并在该空间进行加权平均,然后采用 Phong 法向场将其投影到嵌入
网格.该方法无需迭代且所得曲线光滑性好,但其高维嵌入步骤极为耗时.综上所述,投影法直观且易于实现,但
在计算效率或鲁棒性方面表现较差.
• 光顺法
这类方法通常被用于优化特征边,往往首先松弛光滑约束,然后在光滑能量驱动下对初始曲线进行光顺,并
保持曲线始终在曲面上.Jung 等人 [26] 将图像中的主动轮廓模型用于网格曲面,对分割线进行光顺,通过优化表示
曲线形状的内部能量和网格特征的外部能量迭代地演化曲线.Benhabiles 等人 [27] 改进了该方法中的外部能量,
[2]
对其进行平均和归一化处理,所得到的曲线能够更好地与特征边对齐.Kaplansky 等人 采用测地流方程光顺封
闭曲线,通过修改扩散准则(方程)以适应不同需求.Wu 等人 [28] 与 Zhang 等人 [29] 基于测地曲率流方程演化曲线形
状,得到了较好的结果,但其效率难以达到交互要求.由于这些方法所生成的曲线均沿着网格边,虽然对于提取
[1]
特征边有益,但难以设计一般的光滑曲线.Ji 等人 也采用了主动轮廓模型,通过构造新的蛇形能量,并结合曲线
[4]
节点分裂、移动和移除等拓扑操作使曲线能够穿越网格面片,所构造的曲线更为光滑.Lawonn 等人 提出了一
种网格域曲线的拉普拉斯光顺算子,通过降低曲线的测地曲率以平滑曲线.该方法能够控制曲线的光滑度以及
与初始曲线的贴近度,但是由于采用了局部光顺策略,需要较多的迭代次数且无法插值控制点.总而言之,这类
方法鲁棒性较好,所设计的曲线通常具有良好的光滑性,但是由于在严格的流形约束下进行光顺,导致其效率低
下,且难以用于设计插值曲线.
• 参数化法
这类方法运用平面局部参数化方法,在参数域进行曲线设计,并将结果映射到原曲面.Lee 等人 [15] 提出了“几
何蛇形”法演变曲线形状:他们对初始曲线所在的局部区域进行参数化,并在参数域上运用蛇形能量演化曲线,
并将结果映射回网格空间.进而基于极小化原则与局部显著性提出“智能剪刀”法,并用于网格切割 [30] .朱文明等
人 [31] 采用保角映射构造参数域,并在参数域上生成细分曲线,最终将结果映射回网格曲面.刘斌等人提出了基于
指数映射的测地 B 样条曲线设计方法 [6,32] ,他们将源曲线控制顶点映射到切空间,根据曲线迁移前后控制顶点
法保持坐标不变的原则,建立曲线迁移前后控制顶点的对应关系,实现曲线的几何变换与样条曲线阵列的构造.
但该方法仅限于局部区域,且需频繁更新参数域.这类方法可照搬欧式空间的曲线设计方法,简单且灵活,然而
现有方法大多考虑局部参数化方法,难以设计大范围的曲线,且未曾考虑参数化形变误差对结果的影响.
本文提出的方法属于投影法,但它将流形约束松弛为点到切平面的距离约束进行求解,克服了上述 3 类方
法存在的缺点:相比于传统的投影法,该方法同时优化光滑与流形能量,使曲线能够逐步光顺的同时,稳步地贴
近曲面,从而使投影步骤的鲁棒性和可靠性大为提高;相比于光顺法,该方法由于松弛了流形约束,优化自由度
更大,且计算效率更高;相比于参数化法,该方法能够处理局部参数化法难以适用的具有复杂拓扑的网格曲面.

2 曲线设计方法

2.1 问题描述
3
给定一个嵌入于三维欧氏空间 R 的光滑曲面 S 以及一堆有序点阵{p j }⊂S,要求一条位于该曲面上且插值于
3
{p j }的光滑曲线 c∈S.若采用参数方程表示曲线:c(t)→R ,并运用 3 次样条能量度量曲线的光滑度 [12,15] ,则求解曲面上
的光滑插值曲线问题可转化为计算如下位置与流形约束下的优化问题: