Page 186 - 《振动工程学报》2025年第11期

2644 振 动 工 程 学 报 第 38 卷

界区域的周向坐标和轴向（对应于径向部分）/径向 综上所述，梁多向振动涉及的状态变量 S 如下：
（对应于止推部分）坐标。在公共边界处，需要保证 T
S = [u N θ T y φ M z Q y z ϕ M y Q z ] （14）
径向部分与止推部分的流量相同，而周向流动连续
相邻关键点之间的纵弯扭振动传递关系如下：
显然满足，因此只需要确保止推部分的径向流和径
( )
( )
向部分的轴向流之间的连续性，如下式所示： S i+1 = G i S i = diag (T x ) ，(T tor ) ，(T xz ) ， T xy i S i
i
i
i
（15）
( ) ( )
3 3
h ∂P J h ∂P T
J j,m = T （8）
12η ∂z 12η ∂r j,m 除了梁单元外，还对曲轴系统中的其他部件进
行 了 等 效 建 模， 包 括 飞 轮 、 轴 向 阻 尼 器 和 轴 瓦 支
类似的，各部分的热流量必须相等，要求止推部
撑。这些部件可分为两类，包括等效弹性支撑（如轴
分的径向热通量和径向部分在界面处的轴向热通量
向阻尼器和轴瓦支撑）和等效集中质量（如飞轮）。
之间保持连续，最终表达式如下：
其中，弹性支撑的传递矩阵用 T k 表示，集中质量的
( ) ( )
∂T J ∂T T
w J j,m = U r j,m （9） 传递矩阵用 T m 表示。
∂z ∂r
此外，在实际柴油机曲轴系统中，各档曲拐之间

1.2 曲轴振动模型 存在相位差，即各档曲拐的空间坐标系存在差异，为
了 统 一 计 算， 需 要 将 局 部 坐 标 系 转 化 为 全 局 坐 标

1.2.1 梁的纵弯扭振动的传递矩阵
系。各状态变量局部坐标绕 x 轴旋转 α 角度的转化
本研究建立了基于传递矩阵法的振动模型，将
矩 阵用 H x 表 示 ， 绕 y 轴 旋 转 β 角 度 的 转 化 矩 阵 用
曲轴系统划分为与曲柄销和主轴颈部分，每段轴都
H y 表示。

建模为梁单元。将每段的质量以集中质量块代替，
1.2.2 基于传递矩阵法的曲轴振动求解
并根据重心不变原则将质量块分配到轴上。轴瓦被
通过对每个部件的传递矩阵进行顺序乘法，表
简化为弹簧，以模拟弹性支撑。模型示意图（图 3）标
征从前端到后端的动态传递关系，建立曲轴系统的
记了节点（S）、传递关系（G）、轴瓦刚度（K）和集中
动态模型。以自由端为起点，首先，使用前面描述的
质量（M）。采用 Timoshenko 梁理论（考虑转动惯量
坐标变换方法将每个曲柄行程的传递矩阵转换为全
和剪切变形）推导梁振动的传递矩阵。 局坐标系。然后将这些变换后的矩阵依次相乘，同

时结合飞轮的集总质量，最终得到曲轴系统的动态
z 模型方程如下：
G i+3 S i+4 o x
S i+3
S output = G system S free =
G i+2 G i+4 8 8 7 7 1 1
T m H G H G ··· H G （16）
x crank x crank x crank S free
G i G i+1 G i+2 S i+5 S i+6
m
G i G i+1 S i+5 式中，G syste 为在两端应用边界条件后导出的齐次线
K i i
e
k
M i M i+1 性方程的系数矩阵；S fre 为自由端节点矩阵；G cran 为
曲拐传递矩阵，上标 i 从 1 到 8 对应 8 个曲拐。

图 3 曲轴模型的简化示意图 通过求解系统动力学方程的系数行列式，可以
Fig. 3 Schematic diagram of crankshaft model 得到系统的固有频率。将得到的固有频率代入系数

m
纵振、扭振、x-z 平面内弯振和 x-y 平面内弯振单 矩阵 G syste 中，求解矩阵的特征值得到每个曲轴截面
元传递矩阵用 T x 、T tor 、T xz 、T x 表示，传递关系如下： 的振型函数。对各轴段的振型函数进行正则化处
y
理，分别在纵弯方向进行积分，考虑集中质量和弹簧
T
[u l N l ] = T x [u 0 N 0 ] T （10）
系统的影响，最终通过累加得到广义质量矩阵 M 和
T
[θ l T l ] = T tor [θ 0 T 0 ] T （11） 广义刚度矩阵 K。
在上述研究基础上，进一步开展曲轴强迫振动
T
[z l φ l M yl Q zl ] = T xz [z 0 φ 0 M y0 Q z0 ] T （12）
下的响应计算，轴系的强迫振动的运动方程如下：
T
[z l φ l M zl Q yl ] = T xy [z 0 φ 0 M z0 Q y0 ] T （13） （17）
M ¨ x+C ˙ x+ Kx = F
式 中， u l 和 u 0 分 别 为 轴 段 两 端 的 轴 向 位 移 ； N l 和
1.3 曲轴振动与轴瓦润滑耦合机制
N 0 分别为轴段两端的轴向力；θ l 和 θ 0 分别为轴段两
端的扭转角；T l 和 T 0 分别为轴段两端的扭矩；φ l 和 曲轴振动与轴瓦润滑的耦合包括两个方面：基
φ 0 分别为轴段两端的弯曲转角；M l 和 M 0 分别为轴 于传递矩阵法的曲轴振动模型、考虑热-压-流耦合
段两端的弯曲方向的弯矩；Q l 和 Q 0 分别为轴段两端 效应的径向-止推轴瓦热弹流混合润滑模型。通过
弯曲方向的剪切应力。 对曲轴系统强迫振动求解，得到轴系纵向和弯曲方