Page 154 - 《软件学报》2021年第12期

3818 Journal of Software 软件学报 Vol.32, No.12, December 2021

(2) 生成初始解:利用拉丁超立方随机采样(LHS) [25] 方法对决策空间均匀采样初始解.如文献[15,17,18]所
述,较为合适的随机采样次数为 11d−1,其中,d 为决策变量的数量.
2.2 代理模型构建
本文采用 Kriging 模型作为代理模型,即高斯过程来拟合目标函数,分别对每一个目标建模.一方面,Kriging
模型在评估目标值的同时可以给出该目标上的不确定性,不需要使用额外的方法评估解的不确定性;另一方面,
Kriging 模型因其有效性而较为流行,很多研究都使用它,方便对比.下面对训练 Kriging 模型做一个简要说明,更
多细节见文献[19,26].
为了建立一个廉价的 Kriging 模型,我们需要两点假设.
• 第一,假设对于任意 x,其目标函数值 y 都满足:
y=μ+ε (1)
2
其中,μ是回归模型的预测值,ε~N(0,σ );
j
i
• 第二,假设对于任意两个 x 和 x ,它们的高斯随机过程的协方差与它们的之间的距离相关,表示如下:
2
i
j
j
i
c[ε(x ),ε(x )]=σ R(x ,x ) (2)
⎛ d k p ⎞
i
R (,xx j ) = exp − ⎜ θ k | x − k i x k j | ⎟ ∑ (3)
⎝ k = 1 ⎠
其中,θ k 和 p k 为超参数,p k ∈[1,2].
2
在以上假设的基础上,对于 N I 个训练样本,我们可以最大似然,公式(4),来估计参数μ和σ :
T
1 ⎡ (y − μ ) R − 1 (y −1 1 ) μ ⎤
exp − ⎥ (4)
⎢
(2 σ 2 N I /2 det( ) ⎣ 2σ 2 ⎦
π
R
)
其中,y 为训练样本的目标函数值,1 为长度为 N I 的单位列向量,det(R)为相关矩阵 R 的行列式.R 表示如下:
1
⎡ R (,xx 2 ) R ( , xx 1 N I ) ⎤
R = ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ (5)
⎢ ( R x N I , x 1 ) R x N I , x N I ) ⎥
(
⎣ ⎦
2
为了最大化公式(4),可以得到μ和σ :
−1
−1 T
−1
T
μ=(1 R 1) 1 R y (6)
σ 2 1 (y − 1 ) μ = T − 1 (y − R 1 ) μ (7)
N I
2
至此,对于输入 ˆ x ,可以估计其近似目标值 ˆ y 和方差 ˆ s ,即不确定性:
T
ˆ y = μ + rR − 1 (y − 1 ) μ (8)
−
T
1
2
T
ˆ s = 2 σ 2 [1− T − 1 + rR r (1 R − 1 ) (1− 1 − 1 1 R r ) ] (9)
T
其中,r 是样本与输入 x 的相关矩阵:
r T = [( ,R x x 1 ),..., ( ,R x x N I )] T (10)
2.3 最小相关解集计算
因为候选解生成算子、选择算子和训练集更新都需要计算最小相关解集,算法 2 用于算法 3、算法 5 和算
法 6 中,所以这里优先对其进行介绍.
把原问题分解为多个单目标子问题来求解,可以较好地权衡解的收敛性和多样性 [8,9] .这里的计算最小相关
解集也是基于分解的思想,它引入参考向量把原问题分解为多个单目标子问题,再求得每一个子问题最小相关
解.所有参考向量的最小相关解组成的集合即为最小相关解集.其中的每一个最小相关解对应一个子问题的当
前最优解,因而最小相关解集的大小与解的多样性有关.最小相关解集越大,则越多的子问题存在当前最优解,
即这个集合的多样性越好;反之亦然.
DSAEA 是按照解与参考向量的角度来判定它们的相关性的,并在此基础上得到参考向量的最小相关解.