Page 52 - 《真空与低温》2025年第5期

苗毅珂等：主成分和相关性分析在热泵系统运行数据挖掘中的融合应用 591

各变量的系数有大有小，有正有负，因而不能简单
 
 x 11 x 12 ··· x 1p
 
 
 
  地认为这个主成分是单一变量的属性的作用，线性

  x 21 x 22 ··· x 2p
 
    （3）
X =   . . .  组合中各变量系数的绝对值大，表明该主成分主要
 . . . . . .   

 .
. 

 .  
 
  综合绝对值大的变量属性。本文中各变量系数的
x n1 x n2 ··· x np
绝对值排序后的向量为：
x ij − x j
∗ ,i = 1,2,··· ,n; j = 1,2,··· , p （4） ( )
′
′
′
′
x ij = √ a i = a i1 ,a i2 ,··· ,a ip ,i = 1,2,··· p （8）
var(x j ) 2
2.2 相关性分析
n n
1 ∑ 1 ∑ 2
式 中： x j = x i j , var( x j ) = ( x ij − x j ) ( j = 1, 数据之间往往存在潜在的关联性，揭示这些关
n i=1 n−1 i=1
2,··· , p)。 联关系能够深入挖掘数据背后的价值。在实际应
2.1 主成分分析 用中，假设被研究的两个对象之间为线性关系，那
在数据挖掘中，多个变量之间存在一定的相关 么可以利用皮尔逊相关系数 γ来表述二者之间关
系的程度，其定义如式（9）所示 ：
[16]
性。当变量个数较多且变量之间存在复杂关系时，
( )
∑ N
会显著增加分析问题的复杂性。主成分分析法 [16] 1 f i − f (g i −g)
γ = √ （9）
（PCA）是一种常用的数据分析方法，用于提取数据 ∑ N ( ) 2 √ ∑ N 2
中的主要特征，并降低数据的维度。以下是 PCA 1 f i − f 1 (g i −g)
f f 为样本 的均值； 为第
的典型步骤介绍。 式中： f i为第 i 个样本 ； f g i
（1）计算样本数据相关系数矩阵 i 个样本； g为样本 g的均值。
假定原始数据标准化后仍用 X 表示，则经标准 由于事物之间联系的复杂性，在实际研究中，
化处理后数据的相关系数为： 确定出来的相关系数 γ即使是高度相关，在解释相
关系数时，还要结合具体变量的性质特点和有关专
 
 r 11 r 12 ··· r 1p 
 
 
  业知识进行。相关系数 γ接近零，这表明虽然这
 

  r 21 r 22 ··· r 2p 
 
′     （5）
R =   . . .  两个变量之间没有显著的线性相关性，但无法排除
 . . . .  

 . . . .  

. 
  它们之间可能存在其他形式的规律性联系。
 
 
r p1 r p2 ··· r pp
2.3 Spearman 秩相关分析
k=n
∑ ( )
在进行线性相关性分析后，进一步用
( ) (x ki − x i ) x k j − x j Spearman
cov x i , x j k=1
式中： r ij = √ √ =√ √ , 秩相关分析研究热泵系统中参数间的非线性关系。
var(x 1 ) var(x 2 ) k=n 2 ∑( ) 2
k=n
∑
(x ki −x i ) x ki −x j 与皮尔逊相关系数不同，Spearman 秩相关系数不要
n＞1。 k=1 k=1
求变量之间存在线性关系，适用于对非线性的变量
（2）计算相关系数矩阵 R 的特征值 (λ 1 ，λ 2 ，···，
′
进行分析，Spearman 秩相关系数的公式 [17] 为：
)
λ p ，相应的特征向量： n
∑ 2
6
( ) D i
a i = a i1 ,a i2 ,··· ,a ip ,i = 1,2,··· p （6） i=1
ρ = 1− （10）
2
（3）选择重要主成分，写出主成分表达式 n(n −1)
式中：D i 为每两个变量的秩次之差；n 为数据点的总数。
主成分分析可以得到 P 个主成分，由于各个主
成分的方差是递减的，包含的信息量也是递减的， 3 结果分析
所以实际分析时，根据各个主成分累计贡献率的大 3.1 基于主成分分析的运行数据的特征提取
小选取前 k 个主成分，贡献率是指某个主成分的方 PCA 方法通过按方差贡献率对主成分进行排
差占全部方差的比重，即： 序，提取出包含绝大部分原始数据信息的若干主成
λ i 分。在对原始 30 个参数特征进行变换处理后，新
贡献率 = （7）
p
∑
的主成分特征量可视为原始 30 个参数特征的一个
λ i
i=1 多项式组合。如图 3 所示，前 5 个主成分特征已经
一般要求累计贡献率达到 85% 以上，这样才 能够反映 85% 以上的信息。与原始 30 个特征相
能保证综合变量能包括原始变量的绝大多数信息。 比，PCA 方法显著减少了特征的数量，且仍能有效
主成分是原来变量的线性组合，在这个线性组合中 表征运行数据。