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尽管欠驱动特性在设计和制造上带来了便利, 但也使得系统的动力学特性相比全驱动系统更加复杂. 因此, 研究单
球驱动平衡机器人不仅具有推动自动控制理论, 尤其是非线性控制理论发展的重要理论意义, 更具有显著的实际
应用价值.
3 单球驱动平衡机器人运动学分析及其形式化验证
3.1 单球驱动平衡机器人运动学分析
单球驱动平衡机器人依靠一个球作为驱动元件, 而非传统的轮子. 这种驱动方式具有全方位运动的能力, 即
机器人可以在任意方向上移动, 而不需要转向. 机器人机身的姿态变化与球轮的运动直接相关, 随着球轮的旋转,
机器人机身会发生倾斜, 通常为了保持平衡需要对其进行动态调整, 即球轮以任何方向运动, 机身的姿态也要相应
调整.
随着球的滚动, 机身相对于球轮会发生变化. 球轮的运动引起的坐标变换是复杂的, 因为球是一个全方位的驱
动元件, 其旋转并不局限于单个轴向, 需要时刻计算球的转动角度及其对机身位置和姿态的影响. 单球驱动平衡机
器人需要精确的运动规划和控制策略, 特别是在加速、减速和转弯等过程中. 由于它的球轮能够全方位运动, 运动
学和动力学模型要更复杂, 需要考虑到球轮与地面之间的接触点以及机身重心的变化.
在机器人学中, 通过齐次变换矩阵 [29] g i j 表示刚体坐标系 相对于刚体坐标系 的位置和姿态, 其表达形式为
i
j
[ ]
R ij p i j . 其中, j i p ij 描述了刚体坐标系
0 1 R i j 是三阶旋转矩阵, 表示刚体坐标系 相对于刚体坐标系 的旋转; 向量
j 的原点在刚体坐标系 中的位置, 由一个三维向量给出; 通过齐次变换矩阵的正逆变换和相乘操作, 可实现位姿
i
的变换.
机器人运动学通常分为正向运动学和逆向运动学. 正向运动学的求解依赖于位姿矩阵, 该矩阵用于表示刚体
的位置和姿态. 与之相关的速度则涉及对位姿矩阵的求导. 空间速度的物理意义是刚体上的某一点通过惯性坐标
系原点的瞬时速度; 相对速度由线速度和角速度的列向量组成, 表示刚体的总运动; 反对称矩阵的应用源于其优良
的数学性质以及其与向量叉乘运算的等效性.
在正向运动学分析中, 对于具有 n 个关节的串联机器人, 已知刚体坐标系 l k 相对于刚体坐标系 l k−1 的齐次变
i
换矩阵 g l k−1 l k , 则末端刚体坐标系 j 相对于刚体坐标系 的位姿可以通过矩阵相乘得到. 如公式 (1) 所示:
(1)
g ij = g il 1 ∗g l 1 l 2 ∗...∗g l n−1 l n ∗g l n j
在通过齐次变换矩阵的乘积获得末端位姿之后, 还需要确定空间速度和末端速度的表示, 此时需要求解末
−1 却非常关键, 其计算结果
端位姿的导数以及其逆矩阵. 虽然 ˙ g ij 本身并没有特别的物理意义, 但是 ˙ g i j g ij
˙ T T ˙ T T
R ij ˙ p ij R ij −R p ij R ij R ij − ˙ R i j R p i j + ˙p ij
ij
ij
−1 , 其中, T v i j = − ˙ R i j R p i j + ˙p ij ; 定义空间
T
˙ g i j g ij = = ˆ ω i j = ˙ R ij R 和 ij
i j
0 0 0 1 0 0
T
v ij − ˙ R ij R p ij + ˙p i j
i j
−1 , 则空间速度表示如公式
速度 ˆ V i j = ˙g ij g ij 和相对速度 V ij = = ∨ (2) 所示:
T
( ˙ R i j R )
ω ij
ij
[ ]
ˆ ω i j v ij
ˆ V i j = (2)
0 0
其中, v i j 表示刚体坐标系 j 相对于刚体坐标系 i 的线速度, ω i j 表示刚体坐标系 j 相对于刚体坐标系 i 的角速度, ˆ ω i j 表示
0
ω 1 −ω 3 ω 2
ω i j 的反对称矩阵, ∨ 为 ∧ 的逆操作 [30] , 即由反对称矩阵变换为对应的向量. 假设 ω= ω 2 , 则 ˆ ω= ω 3 0 −ω 1 ,
ω 3 −ω 2 −ω 1 0
∨
且有 ( ˆω) = ω.
由上述可知, 末端速度的表示如公式 (3) 所示:
(3)
˙ p ij = v i j + ˆω i j p i j
单球驱动平衡机器人的结构如图 2 所示, 该机器人由刚性球轮和刚性圆柱体构成, 机身不能相对球轮平移, 但
2
可以自由移动. 因此, 机器人的构型空间为 Q = R ×SO(3)×SO(3). 其中, 坐标系 S 是惯性坐标系, 坐标系 B 和坐标
