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3412 软件学报 2025 年第 36 卷第 7 期

由于实数空间上的任意范数都是凸函数, 同时非负加权和以及复合仿射变换是凸保留算子, 因此上述问题是
凸优化问题. 可以结合拉格朗日乘子法来设计求解方案, 具体步骤如下.
首先得到公式 (8) 对应的拉格朗日函数, 如公式 η 是拉格朗日乘子.
(9) 所示. 其中 λ 和
 √ √  √
 N  N 
M ∑ N ∑
 
)
 
( )   2π   ( ∗ 2 2 N  2π  s′ ∗ 


∗
L w s , ˆx ,y n ,λ,η = w s y n 1−       s′ n −      x − ˆx +2lnx − ˆx   
∗

  x − ˆx
 s′

n
n
n
n
 
n
n 


s=1 n=1 2 N 2
 M   N 
∑  ∑ 
  −w s     −y n  
+λ   e −1  +η   e −1   (9)

   
s=1 n=1
 √ N √  √ N
 2π  2 N  2π 
    ,    , 接着对公式 w s 的一阶导并令其等于 0, 可以得到公式



令 t = 1−    b =    (9) 求得关于 (10):
2 N 2
N ∑

)
( ∗ 2
∗
s′
s′
s′
λe −w s = y n t x − ˆx −y n bx − ˆx +2y n lnx − ˆx (10)
∗
n n n n n n
n=1
根据公式 (8) 中的约束条件 1, 有:

λ(e −w 1 +...+e −w s +...+e −w M ) = λ (11)
进而求得:

M ∑ N ∑
(
)
s′
s′
s′
λ = y n t x − ˆx ∗ 2 −y n bx − ˆx +2y n lnx − ˆx (12)
∗
∗
n
n
n
n
n
n
s=1 n=1
λ 回代入公式 (10), 可以得到:
将求得的

N ∑

)
( ∗ 2
∗
s′
s′
∗
s′
y n t x − ˆx −y n bx − ˆx +2y n lnx − ˆx
n n n n n n
n=1
w s = −ln (13)
M ∑ N ∑

)
( ∗ 2
s′
s′
∗
∗
y n t x − ˆx −y n bx − ˆx +2y n lnx − ˆx
s′
n n n n n n
s=1 n=1
同理, 将公式 y n 求导可以得到:
(9) 对
M ∑

)
( ∗ 2 s′ s′
∗
s′
∗
w s t x − ˆx n −w s bx − ˆx +2w s lnx − ˆx
n
n
n
n
n
y n = −ln s=1 (14)
M ∑ N ∑

( ∗ 2
)
s′
∗
s′
s′
w s t x − ˆx −w s bx − ˆx +2w s lnx − ˆx
∗
n n n n n n
s=1 n=1
进一步地, 将公式 ˆ x 求偏导可以得到:
∗
(9) 对 n
M ∑ M ∑ M ∑ 1
( ) ( )
∗
s′
∗
s′
−2 w s y n t x − ˆx − w s y n ·b·Sgn x − ˆx +2 w s y n ·(−1)· ( ) = 0 (15)
n n n n x − ˆx ∗
s′
s=1 s=1 s=1 n n
其中, Sgn(·) 是符号函数, 如果内部值大于 0 则返回 1, 否则返回−1; 如果等于 0 则返回 0. 那么当 x > ˆx , 公式 (15)
∗
s′
n
n
化简为:

1
M ∑ M ∑ M ∑
( )
∗
s′
−2 w s y n t x − ˆx − w s y n ·b+2 w s y n ·(−1)· ( s′ ∗ ) = 0 (16)
n
n
n
s=1 s=1 s=1 x − ˆx n
1 1 1
由泰勒公式 = − x+O(x) 可得:
a− x a a 2
1 1 1 ( )
∗
n
( ) = − ( ) ˆx +O ˆx ∗ n (17)
x − ˆx ∗ x s′ x s′ 2
s′
n n n n
所以代入公式 (16) 化简为: