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740 软件学报 2026 年第 37 卷第 2 期

引理 2. 协议 1 |y 0 | > |y 1 |, 如下事件必然发生:
中, 如果
∃k ∈ {0,...,l−1} : B 0 [k] = B 1 [k].
−l l
如果 |y 0 | ⩽ |y 1 |, 该事件发生的概率 < 1−(1−2 ) +negl(l).
k
证明: 前一个断言是显而易见的, 因为 |y 0 | > |y 1 | 当且仅当存在 k ∈ {0,...,l−1}, 使得 |y 0 | 二进制表示的第 位为
1 而 |y 1 | 的为 0, 根据 Encoder 的编码规则, 这就完全等价于 A 0 [k] = A 1 [k], 蕴含 B 0 [k] = B 1 [k]. 后一个断言也是显然
P 0 , P 1 采样到了相同的随机数, 如果编码过程中在 l 位二
的, 由第一个断言的逆否命题可知, 该事件发生当且仅当
−l l
进制数范围内均匀采样, 这种巧合发生的概率为 1−(1−2 ) , 仿照引理 1 中的手法, 用于区分均匀采样和 PRF 采
样的 PPT 算法正确率不超过 1/2+negl(l), 这直接导出了结论. 证毕.
计算可知, l = 64 时, 在 |y 0 | ⩽ |y 1 | 时引理 2 所述事件发生的概率 < 3.49×10 −18 . 这表明协议 1 相应于该犯错概率
31 |y 0 |, |y 1 | 的位数至 位, 延
是正确的. 在实际实现时, 为了进一步减少通信量, 我们设定 p = 2 −1, 此时仅需截断 32
续上述分析以及实验测试可知, 这些修改对网络训练的准确率没有影响.
3.3.2 混合相乘以及 ReLU 实现
]]
B ′ [[
混合相乘协议 MixMul([[b]] , x; f ) 用于将本文所述的特殊布尔秘密分享模式的数据与算术秘密分享模式
下的数据相乘, 结果以算术秘密分享的形式存放. 相比起 ABY 的比特嵌入以及文献 [21,23] 中的 Bit2A 协议, Antelope
3
中充分利用了秘密分享模式 B′ 的特性. 注意:

B
B ′
[[b]] := (b 0 ,b 1 ,b 2 ) 7→ (0,b 1 ,b 2 ) =: [[b]] .
这将 Antelope 中使用的布尔秘密分享模式退化为传统二进制秘密分享模式, 即 0⊕b 1 ⊕b 2 = b, 但很明显无法
设计反向的协议, 表明我们使用的秘密分享模式蕴含了更多信息, 因此可以简化协议 2 的实现.
协议 2. MixMul( [[b]] ,[[x; f]]).
B ′
输入: 比特 b 的秘密分享 [[b]] = (b 0 ,b 1 ,b 2 ) 和数据 x 的算术秘密分享 [[x; f]] = (x 0 , x 1 , x 2 );
B ′
输出: 混合乘积 bx 的秘密分享 [[bx; f]].
1. 参与方 P 2 使用一个私有随机数种子 k 和伪随机函数 PRF 生成随机数 r 0 ← Z/2 Z
l
′
2
2. 参与方 P 2 计算 r 1 = b−r 0 ∈ Z/2 Z
l
3. 参与方 P 2 将 r j 发送给 P j (j = 0, 1)
4. if b 0 = b 1 = 1 then
5. 参与方 P 0 在本地置 b 0 ← −1 ∈ Z/2 Z
l
6. else
7. 参与方 P j (j = 0, 1) 在本地置 (b 0 ,b 1 ) ← (−2r 0 ,1−2r 1 ) ∈ (Z/2 Z) 2
l
8. 参与方 P 0 , P 1 , P 2 利用 PRSZ 机制将 (b 0 ,b 1 ,b 2 ) 转化为算术秘密分享 [[b]]
P 0 , P 1 , P 2 利用算术秘密分享模式上的乘法协议
9. 参与方
表 1 给出了 Antelope 的 ReLU 协议与 FALCON 和 CryptGPU 的通信复杂度对比. 每一个复杂度由二元组
(Round, Amount) 表述, 其中 Round 表示通信轮数, Amount 表示通信量, 单位是 bit. 本文协议在通信轮数上远远优
于 FALCON 和 CryptGPU, 尽管通信量较这两者也有一定的增加, 但在输入数据量较小时, 本文协议仍具备更大的
优势, 后续的实验环节也进一步验证了本文低通信轮数 ReLU 协议的优势.

表 1 ReLU 协议通信复杂度比较

协议 MSB协议 ReLU协议
FALCON (3+logl,24l) (5+logl,32l)
CryptGPU (2+3logl,16l) (5+3logl,24l)
Antelope (2,33l) (3,35l)