Page 294 - 《软件学报》2020年第12期

3960 Journal of Software 软件学报 Vol.31, No.12, December 2020

C = (1 n+ ) r 2 b n mod n 2 (7b)
i b i b
)
并将密文对 (CC 发送给 Alice.
ˆ ,
i b
i b
Step 2:收到 (CC 后,Alice 按照如下方式执行.
)
ˆ ,
i b
i b
*
,
① 随机选择 6 个长度为⎣logn−1⎦的数 k 1 a ,k 2 a ,k′ 1 a ,k′ 2 a ,k′ 3 a ,k′ 4 a 和 4 个 rr 2 a ,r 3 a ,r ∈ Z ,并利用同态加密,按照
4 a
1 a
n
如下方式计算密文对 (C ( L b⋅ a + ,C (a ),(C ( R b⋅+ a + ,C ( R b⋅ a + ).
2 1 ) k′ 1 a 1 L b⋅ 2 ) k′ 1 a 2 1 ) k′ a 2 1 2 ) k′ a 2
a
′
C ( L b +⋅ 1 ) k′ = 1 a ((C 1 b ) a k 1 · L 2 mod ) (1n × 2 + kkn )r n 1 a m od n 2 (8a)
a
1 a
1 a
2
C 2 ) k′ = ((C ) a k 1 ·a 1 L mod ) (1n × 2 + k k′ ) n r n m od n 2 (8b)
(a 1 L b +⋅ 1 a 2 b 1 a 1 a 2 a
a
′
C ( R b +⋅ 1 ) k′ = ((C ) a k 2 · R 2 mod ) (1n × 2 + kkn )r n m od n 2 (9a)
a
2 a 2 1 b 2 a 2 a 3 a
′
C (a 1 R b ⋅ 2 ) k′ = + a 2 ((C 2 b ) a k 2 ·a 1 R mod ) (1n × 2 + kkn )r n 2 a m od n 2 (9b)
2 a
2 a
② 随机选择一个密文对:
((cc ),(c ,c )) {((C∈ ,C ),(C ,C )),
,
1 L 1 R 2 L R 2 ( L b + a 2 ⋅ 1 ) k′ 1 a (a ⋅ 1 L b + 2 ) k′ 1 a ( R b + a 2 ⋅ 1 ) k′ a 2 (a ⋅ 1 R b + 2 ) k′ a 2
((C ( R b ⋅ a 2 1 ) k′ a 2 ,C ( R b ⋅ a 1 2 ) k′ + a 2 ),(C ( L b ⋅+ a 2 1 ) k′ 1 a ,C (a 1 L b ⋅ 2 ) k′ + + 1 a )),
((C (a 1 L b ⋅ 2 ) k′ + 1 a ,C ( L b ⋅ a 2 1 ) k′ 1 a ),(C (a 1 R b ⋅ + 2 ) k′ + a 2 ,C ( R b ⋅ a 2 1 ) k′ + a 2 )),
((C (a 1 R b ⋅ 2 ) k′ + a 2 ,C ( R b ⋅ a 2 1 ) k′ a 2 ),(C (a 1 L b ⋅ + 2 ) k′ + 1 a ,C ( L b + a 2 ⋅ 1 ) k′ 1 a )),
((C ( R b⋅ 1 ) k′ + a 2 ,C (a ⋅ 1 R b + 2 ) k′ a 2 ),(C ( L b + a 2 ⋅ 1 ) k′ 1 a ,C (a ⋅ 1 L b + 2 ) k′ 1 a )),
a
2
((C ( L b +⋅ a ,C (a + ),(C ( R b ⋅ a + ,C (a + )),
2 1 ) k′ 1 a 1 L b ⋅ 2 ) k′ 1 a 2 1 ) k′ a 2 1 R b ⋅ 2 ) k′ a 2
((C (a 1 L b⋅ 2 ) k′ + 1 a ,C ( L b⋅ a 2 1 ) k′ 1 a ),(C (a 1 R b⋅ + 2 ) k′ + a 2 ,C ( R b⋅ a 2 1 ) k′ + a 2 ))}
发送给 Bob.
,
Step 3:收到 (cc ),(c ,c ) 后,Bob 计算:
1 L 1 R 2 L R 2
⎛ ( Lc λ ) ⎞ ⎛ ( Lc λ ) ⎞ ⎧ − 1, X ≤ 1
∂= P⎜ ⎜ L λ 1 ) ⎟ P⎜ ⎜ L λ 2 ) , ⎟ 其中 , ( )P X = ⎨ (10)
i
⎝ ( Lc 1 R ⎠ ) ⎟ ⎝ ( L c R 2 ⎠ ) ⎟ ⎩ 1, X > 1
并将计算结果∂发送给 Alice.
定理 2. 在半诚实模型下,面向有理数的多维点与区间保密测定协议Π 2 是计算安全的.
证明:面向有理数的多维点与区间保密测定协议实质是多个(有理数)数与(上、下界为有理数的)区间保密
关系测定协议的一次并行执行,因为在第 2.2 节中我们已经证明:在半诚实模型下,有理数与区间(上、下界为有
理数的)保密关系测定协议是计算安全的.所以在半诚实模型下,面向分数形式的实数或有理数的多维点与区间
保密测定协议也是计算安全的. □
3.2 多维点与区间保密关系测定在保密位置测定中的应用
多维点与区间保密关系测定协议可以作为基础模块,例如:二维点与区间保密关系测定协议可以用于解决
点与扇面关系(如图 5(a)所示)的保密测定问题、点与三边形关系(如图 5(b)所示)的保密测定问题以及点与四边
形关系(如图 5(c)所示)的保密测定问题;三维点与区间保密关系测定协议可以用于解决点与五边形关系(如图
5(d)所示)的保密测定问题.显然,在研究多维点与区间保密关系测定问题时,如果点和区间端点为有理数或者分
数形式的无理数,则更符合现实应用场景.